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divisore

Enciclopedia della Matematica (2013)
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divisore


divisore nell’operazione di divisione, è detto divisore il numero per cui si divide il dividendo. In a : b il divisore è il numero b e, se a ≠ 0, non può essere uguale a 0. Nell’insieme Z dei numeri interi, un numero intero d è invece detto divisore di un intero n se esiste un intero m tale che n = d · m, cioè se d divide n. Ogni intero possiede sempre due divisori, detti divisori banali: essi sono (a meno del segno) 1 e il numero stesso. Tutti i divisori di a a eccezione di 1 e di ±a si chiamano divisori propri di a. Un numero che possiede solo i divisori banali si chiama numero primo. Due interi sono detti coprimi (o primi fra loro) se non ammettono divisori comuni diversi da 1 o −1. Si chiama inoltre massimo comune divisore (indicato con il simbolo mcd) il più grande divisore comune a due numeri interi a eb.

Più in generale, in un anello A, un elemento a è detto divisore di un elemento b se esiste un elemento c tale che b = a · c. Se b = 0 e a e c sono diversi da 0, gli elementi a e c sono detti divisori dello zero. Un anello commutativo con unità e privo di divisori dello zero è detto dominio d’integrità. Poiché se b è divisore di a tale è anche −b, ci si può limitare a studiare i divisori positivi di a. Ogni intero maggiore di 1 è rappresentabile in modo unico, a meno dell’ordine, come prodotto di numeri primi (teorema fondamentale dell’aritmetica elementare). Raggruppando in potenze fattori primi uguali e disponendo le potenze secondo la grandezza del numero primo che ne è la base, si ottiene la scomposizione canonica del numero stesso

formula

a partire da tale scomposizione si possono ottenere tutti i divisori positivi di n: essi sono in numero di (t1 + 1) · ... · (tr + 1), e sono i numeri del tipo

formula

dove v1, ..., vr assumono tutti i valori compresi tra 0 e t1, ..., tr rispettivamente. A partire dalla scomposizione canonica di due numeri a e b, si possono ricavare tutti i divisori comuni a essi, che sono i numeri del tipo

formula

dove vj assume di volta in volta tutti i valori da 0 fino al più piccolo tra gli esponenti di pj nelle due rappresentazioni: il più grande di tutti i divisori comuni, detto massimo comune divisore (mcd). Per individuarlo a partire dalle rispettive scomposizioni canoniche si considera il prodotto dei fattori comuni, ciascuno con il minimo esponente. Per esempio, dalle scomposizioni

formula

si ricava che 2 · 11 è il mcd. Il mcd di due numeri interi è 1 se e solo se i due numeri sono coprimi. Il mcd di due numeri interi positivi può essere determinato anche mediante l’algoritmo euclideo della divisione con resto.

Tag
  • ANELLO COMMUTATIVO CON UNITÀ
  • MASSIMO COMUNE DIVISORE
  • NUMERI INTERI POSITIVI
  • DOMINIO D’INTEGRITÀ
  • DIVISIONE CON RESTO
Vocabolario
diviṡóre
divisore diviṡóre s. m. [dal lat. divisor -oris, der. di dividĕre «dividere»]. – 1. Chi divide; oggetto, ente o valore che divide. In partic.: a. In matematica, il secondo termine dell’operazione di divisione, cioè il numero per cui deve...
diviṡòrio
divisorio diviṡòrio agg. [der. di dividere, diviso]. – 1. Che serve a dividere, a separare: muro d. (anche assol. divisorio s. m.), quello che serve a dividere una stanza in due vani, o a separare ambienti, aree contigue e sim.; analogamente,...
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