divisione

divisione

divisione operazione inversa della moltiplicazione: a ogni coppia di numeri a e b, presi nell’ordine, con b diverso da zero, la divisione associa quel numero c (se esiste) tale che a = b · c. Il numero a è detto dividendo, il numero b è detto divisore e il risultato c, se esiste, è detto quoziente, o anche quoto, della divisione di a per b. L’operazione di divisione è indicata con il simbolo a : b, o equivalentemente con i simboli a /b, oppure

L’operazione ha per scopo di determinare quante volte un numero (il divisore) è contenuto in un altro (il dividendo). Il problema di determinare tale numero non sempre ha soluzione: l’esistenza di un risultato dipende dall’insieme in cui si vuole risolvere il problema; tuttavia, se esiste, esso è unico.

Se l’insieme è quello dei numeri razionali o quello dei numeri reali, o più in generale se esso è un campo, e se il divisore non è nullo, allora il problema ha sempre soluzione e la divisione definisce effettivamente un’operazione sull’insieme considerato, nel senso che esso è chiuso rispetto a tale operazione: il quoziente della divisione di a per b necessariamente coincide con l’elemento a /b = ab⁻¹, che è sempre ben definito grazie alla struttura di campo. Per esempio, dati due numeri razionali, sotto

forma di frazioni,

si ha:

Si noti che:

• qualunque sia a ∈ R (con a ≠ 0), 0 : a = 0;

• qualunque sia a ∈ R (con a ≠ 0), la divisione a : 0 non è definita;

• la divisione 0 : 0 è indeterminata perché ha come risultato qualunque numero reale.

La divisione è propria o completa quando non ha resto (ossia il resto è zero); in tal caso il risultato è un quoziente esatto; è impropria o incompleta quando ha un resto diverso da zero; in tal caso il risultato è un quoziente approssimato. La divisione propria gode della proprietà invariantiva (se a e b sono divisibili esattamente per m):

e della proprietà distributiva a destra della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione (se a e b sono divisibili per m):

In altre strutture, in cui non è definita l’operazione di divisione, si considera un altro tipo di divisione detta divisione con resto (oppure divisione intera o, ancora, divisione euclidea; si veda anche → Euclide, algoritmo di). Queste strutture sono particolari anelli, detti domini euclidei: sono tali l’anello Z dei numeri interi e l’anello dei polinomi a coefficienti in un campo.

Divisione di numeri interi

Se l’insieme in cui si opera la divisione è quello dei numeri interi, il problema non ha in generale soluzione, a meno che il dividendo a non sia un multiplo del divisore b: per esempio non esiste alcun numero intero che moltiplicato per 2 dia come risultato 3, vale a dire non è definito nell’insieme dei numeri interi il quoziente della divisione 3 : 2. Si ovvia a questo problema riformulando la questione in modo diverso e definendo la divisione con resto tra numeri interi. Dati due numeri interi a e b, entrambi positivi, si determina il massimo intero q tale che b · q ≤ a: tale numero è anch’esso detto quoziente della divisione (con resto) di a per b, mentre il numero r = a − b · q, che è necessariamente minore di b, è detto resto della divisione. I numeri q e r sono univocamente determinati a partire da a e b dalle due relazioni: a = b · q + r, e 0 ≤ r < b. Se il resto r è zero, allora a viene detto divisibile per b: ciò equivale a dire che a è un multiplo di b. Un algoritmo che fornisce una condizione, necessaria ma non sufficiente, per verificare l’esattezza del calcolo del quoziente e del resto in una divisione con resto è la cosiddetta → prova del nove.

Divisione di polinomi

Similmente al caso dei numeri interi può essere trattato il caso dei polinomi a coefficienti in Q o in R e, più in generale, a coefficienti in un qualsiasi campo: in questo caso la divisione con resto (o divisione euclidea) tra polinomi viene definita come quell’operazione che associa a ogni coppia di polinomi ƒ(x) e g(x), presi nell’ordine e con g(x) diverso dal polinomio nullo, la coppia di polinomi q(x) e r(x), univocamente determinata a partire dalle relazioni ƒ(x) = g(x) · q(x) + r(x), con deg(r(x)) < deg(g(x)) oppure r(x) = 0, avendo indicato con deg la funzione che associa a un polinomio il suo grado. Analogamente al caso dei numeri interi, se il resto r(x) è il polinomio nullo, allora ƒ(x) viene detto divisibile per g(x).

Un criterio per determinare il quoziente e il resto nella divisione con resto tra due polinomi ƒ(x) e g(x) è il seguente, detto algoritmo della divisione con resto tra polinomi. Se g(x) ha grado maggiore di ƒ(x), allora deve essere q(x) = 0 e r(x) = g(x). Altrimenti, si supponga che ƒ(x) abbia grado n e che g(x) abbia grado m, con m ≤ n. Se a e b sono rispettivamente i coefficienti direttori di ƒ(x) e di g(x) (cioè i coefficienti dei termini di grado massimo) si moltiplichi allora g(x) per il monomio

e si sottragga il prodotto così ottenuto a ƒ(x). Si otterrà in questo modo un polinomio r₁(x) = ƒ(x) + − q₀(x)g(x) di grado minore di n. Se il grado di r₁(x) è minore di m, allora l’algoritmo ha termine e fornisce la soluzione q(x) = q₀(x) e r(x) = r₁(x); altrimenti esso continua, ripetendo quanto fatto per ƒ(x) e g(x) avendo sostituito r₁(x) al posto di ƒ(x). Si determina dunque in modo analogo il monomio q₁(x) e si ottiene un polinomio r₂(x) = r₁(x) – q₁(x)g(x) di grado minore di r₁(x). Se il grado di r₂(x) non è ancora minore di m, si procede similmente fino a che non si determinano un polinomio r_h(x) e un polinomio q_h(x) tali che il polinomio r_h+1(x) = r_h(x) − q_h(x)g(x) ha grado minore di m. Il procedimento ha così termine e fornisce la soluzione q(x) = q₀(x) + q₁(x) + ... + q_h(x) e r(x) = r_h+1(x).