Dirichlet Peter Gustav Lejeune

Dirichlet Peter Gustav Lejeune

Dirichlet 〈diriklé〉 Peter Gustav Lejeune [STF] (Düren, presso Aquisgrana, 1805 - Gottinga 1859) Prof. di matematica nell'univ. di Berlino, succedette a Gauss nell'univ. di Gottinga nel 1855. ◆ [ANM] Condizioni di D.: quelle verificate da una funzione f(x) che in un intervallo sia continua o abbia un numero finito di discontinuità di prima specie e, inoltre, questo intervallo possa essere suddiviso in un numero finito di intervalli tali che in ciascuno di essi la f(x) sia continua e monotona. ◆ [ANM] Funzione di D.: è la funzione f(x)=0 per x irrazionale, f(x)=1 per x razionale, che è discontinua ovunque. ◆ [ANM] Integrale di D.: di una funzione f(x) l'espressione (2π)-1∫x+πx-π f(ξ){ sin[(n+1/2)(ξ-x)]/sin[(1/2)(ξ-x)]}dx; rappresenta la somma parziale Sn(x) di una serie di Fourier di una funzione continua e periodica di periodo 2π. ◆ [ANM] Principio di D.: v. variazioni, calcolo delle: VI 465 c. ◆ [ANM] Problema di D., o primo problema di valori al contorno (il secondo problema è quello di Neumann e il terzo quello di Robin): concerne il calcolo del potenziale (in generale, di una funzione armonica) in una certa regione quando si conoscano i valori sul contorno di essa: v. potenziale, teoria del: IV 570 a. ◆ [EMG] Problema di D. dell'elettrostatica: denomin. del problema generale dell'elettrostatica, cioè del calcolo del potenziale del campo elettrico generato da più conduttori, quando si conoscano i potenziali di questi: → elettrostatica. ◆ [ANM] Serie di D.: serie del tipo ΣKaK exp(-λKx), dove x è una variabile complessa, gli aK sono numeri complessi e i λK sono una successione monotona di numeri reali che tende a +∞; ponendo exp(-x)=z si ha la serie ΣKzλK, e se i λK sono interi si ha una serie di potenze. Il nome di serie di D. è talvolta attribuito al caso particolare con λK=lnk, cioè alla serie ΣKaKk-x. ◆ [MCC] Teorema di D.: se la funzione f(x) definita nell'intervallo (-π,π) verifica ivi le condizioni di D., la serie di Fourier di f(x) è convergente in questo intervallo e la somma della serie risulta uguale a f(x) nei punti di continuità, a (f(x+)+f(x-))/2 nei punti di discontinuità e infine a (f(-π+)+f(π-))/2 agli estremi dell'intervallo. ◆ [ANM] Trasformazione integrale di D.: lo stesso che integrale di Dirichlet.