dimostrazione

dimostrazione

dimostrazione concatenazione logica tra asserzioni che deduce da una serie di premesse dette ipotesi, attraverso proposizioni intermedie, una conclusione detta tesi che è necessaria conseguenza delle premesse stesse. In un sistema formale S dotato di assiomi e regole di inferenza, la dimostrazione di una formula A è una catena di deduzione che permette di dedurre la formula A dagli assiomi mediante l’applicazione delle regole di inferenza. Poiché l’insieme degli assiomi logici costituisce la base per ogni teoria matematica, nelle diverse teorie si trovano le medesime forme di dimostrazione applicate però a oggetti diversi. Una dimostrazione che, nella sua forma espositiva, procede direttamente dalle ipotesi alla tesi, attraverso una catena di deduzioni che utilizzano gli assiomi della teoria o teoremi precedentemente dimostrati (lemmi), è detta dimostrazione diretta. Un caso particolare della dimostrazione diretta è quello in cui si suddivide il teorema da dimostrare in più sottocasi che, uniti, conducono alla dimostrazione del teorema nella sua globalità; una tale forma di dimostrazione è detta dimostrazione per casi. Altre forme di dimostrazione sono:

• la dimostrazione con l’ipotesi ausiliaria. Si basa sul teorema di → deduzione: per dimostrare la formula A ⇒ B si dimostra la formula B aggiungendo A agli assiomi della teoria, cioè usando A come ipotesi ausiliaria. In sostanza, data una teoria T con i suoi assiomi, essa viene ampliata con l’aggiunta dell’ipotesi ausiliaria A come assioma, ottenendo come teorema (in questa teoria ampliata) la formula B;

• la dimostrazione per assurdo. Per dimostrare la formula A si dimostra che aggiungendo agli assiomi come premessa la formula ￢A, cioè la negazione di A, detta anche ipotesi assurda, si giunge a una contraddizione. Questo tipo di ragionamento si basa sul principio del → terzo escluso per cui se la formula ￢A non può essere vera perché porta a una contraddizione, allora deve essere necessariamente vera la formula A. Per esempio, si dimostra per assurdo che √(2) è un numero irrazionale, che esistono infiniti numeri primi, che l’insieme dei numeri reali non è numerabile, che esistono infiniti numeri razionali compresi tra 0 e 1. Quella per assurdo è una dimostrazione di tipo indiretto; per questo motivo è valida nella logica classica, in cui vige il principio del terzo escluso, ma viene rifiutata in altri tipi di logica come per esempio la logica intuizionista in cui tale principio non vale. Per questo la corrente matematica nota sotto il nome di intuizionismo rifiuta le dimostrazioni per assurdo a favore di dimostrazioni di tipo costruttivo in cui venga mostrata una costruzione dell’oggetto di cui si vuole mostrare l’esistenza. La dimostrazione per assurdo ha rivestito una notevole importanza nella storia della matematica. Essa fu già utilizzata da Euclide e, in seguito, anche da G. Saccheri nei suoi studi sul quinto postulato di Euclide (→ geometria non euclidea);

• la dimostrazione per dilemma. Per dimostrare una implicazione del tipo A ⇒ B, si considerano due premesse C e D almeno una delle quali è sicuramente vera. Se si dimostra che da A e C deriva B (in formula, A ∧ C ⇒ B) e anche da A e D deriva B (A ∧ D ⇒ B) allora ciò equivale a dire che da A deriva B (cioè A ⇒ B). Sostanzialmente il metodo si basa sul distinguere due casi possibili C o D;

• la dimostrazione con controesempio. Se si vuole dimostrare che una proprietà A non è verificata da ogni elemento x di un dato insieme, basta esibire un controesempio, cioè un elemento x dell’insieme che non verifica la proprietà A; in questo senso per dimostrare un teorema della forma ￢∀xA(x) si dimostra il teorema della forma equivalente Ǝk: ￢A(k). Per esempio, per dimostrare che «non tutti i numeri pari sono multipli di 8» basta considerare come controesempio il numero 4 che è pari ma non è multiplo di 8.

Un ulteriore metodo di dimostrazione usato nella pratica matematica per dimostrare che una proprietà P vale per un numero infinito di casi è la dimostrazione per induzione: se P è una proprietà che dipende in qualche modo da un numero naturale n, allora per dimostrare che la proprietà P vale per ogni numero naturale è sufficiente mostrare:

a) che la proprietà è vera per un certo numero naturale n₀ (base dell’induzione);

b) che, qualunque sia k ≥ n₀, se la proposizione è vera per n = k, allora è vera per n = k + 1 (passo induttivo).

In questo modo possono essere dimostrate alcune proprietà dei numeri naturali come per esempio l’uguaglianza 1² + 2² + 3² +… + n² = n(n + 1)(2n +1)/6.