dimostrazione

dimostrazione

Procedimento discorsivo che, attraverso una sequenza di passaggi logici, conduce alla conclusione che una certa affermazione è vera o è conseguenza di alcuni principi, ipotesi o assiomi. Normalmente il termine dimostrazione viene affiancato dall’aggettivo matematica, che ne specifica alcune caratteristiche, distinguendo tale processo da quello più generico di ‘prova’. In tale senso più specifico, la d. matematica si configura come una argomentazione che, partendo da una o più affermazioni considerate vere, dette ipotesi o assunzioni, procede attraverso una successione di deduzioni logiche, ottenute sulla base di assiomi, enunciati precedentemente dimostrati, costruzioni diagrammatiche, calcoli e regole logiche, fino a derivare la conclusione desiderata (tesi). La riflessione sul concetto di d. ha subito nel corso del tempo numerosi mutamenti in funzione degli sviluppi delle scienze e delle indagini filosofiche, passando, per es., da una concezione materiale, che fa riferimento al contenuto di verità delle premesse e della conclusione, a una concezione formale, che fa invece riferimento alla pura correttezza formale del ragionamento deduttivo soggiacente alla d. (➔ assioma, assiomatizzazione). La prima profonda analisi teorica del concetto di d. è sviluppata da Aristotele negli Analitici secondi, nella cui prima parte viene affermato che il sapere è un conoscere attraverso la d., ossia attraverso una forma particolare di sillogismo che è denominato ‘scientifico’ in quanto requisito della scienza. Aristotele lega la riflessione sul sillogismo scientifico alla sua più ampia teoria della scienza, intrecciando così ricerca logica e ricerca ontologica (➔ sillogismo). La riflessione aristotelica ha avuto un profondo sviluppo nel Medioevo e nel Rinascimento sin quasi alla modernità, dove le varie trasformazioni del concetto di conoscenza, le critiche empiriste alla conoscibilità delle sostanze, e l’attenzione alle argomentazioni induttive misero in crisi il modello di d. formulato da Aristotele. I risultati poi della matematica e della logica contemporanee situarono il concetto di d. in quello di sistema formale, privandolo di una dimensione contenutistica a vantaggio di una formale. Per d. diretta si intende un modo di mostrare la verità o la falsità di un’asserzione attraverso una combinazione diretta di fatti stabiliti, lemmi e teoremi, senza fare ulteriori supposizioni. In contrasto, una d. indiretta può porre delle ipotesi alternative e poi procedere a eliminarle finché si raggiunge una conclusione inevitabile. Tipica dimostrazioni indiretta è la d. per assurdo. Questo tipo di procedimento consiste nel provare la verità della tesi mostrando che la sua negazione porta necessariamente a una contraddizione. Altri tipi importanti di dimostrazione sono la d. per induzione e la d. per casi o per esaustione. Il primo tipo di procedimento viene utilizzato per dimostrare la verità di enunciati che dipendano da un indice naturale n, ossia per provare che una proposizione che dipende da n è vera per tutti i valori di n. Il procedimento consiste nel verificare che la proposizione è vera per n = 0 e che, se è vera per n, è vera anche per n +1. Il secondo tipo di procedimento richiede che l’asserzione che deve essere dimostrata sia divisa in un numero finito di casi e che ognuno di questi sia provato separatamente.