DIMENSIONI

DIMENSIONI

(XII, p. 849).

Dimensioni delle grandezze fisiche.

Si dicono formule dimensionali per le grandezze fisiche quelle formule che esprimono secondo quali leggi, in virtù di convenzioni adottate, le unità derivate in un sistema di misure dipendono dalle unità scelte come fondamentali (v. unità, sistemi di, XXXIV, p. 714 segg.). Così, p. es., stabilita (per regioni di opportunità e in via arbitraria) la convenzione che l'unità di area sia l'area del quadrato che ha per lato l'unità di lunghezza, segue che ogni qualvolta quest'ultima varî in un certo rapporto, la prima varia in ragione del quadrato del rapporto medesimo; e allora, indicato con [L] il simbolo dimensionale per la lunghezza, e con [A] quello per l'area, si scrive

Similmente, fatta la convenzione che l'unità di velocità sia quella di un mobile che percorre l'unità di lunghezza [L] nell'unità di tempo [T], si ottiene per la velocità la formula dimensionale

la quale indica che, quando si cambiano le unità di lunghezza e di tempo, quella di velocità si modifica in ragione diretta della prima e in ragione inversa della seconda.

Le formule dimensionali riescono sempre monomie, perché non si saprebbe dare significato a un' espressione ove figurassero sommate insieme grandezze non omogenee. Questi monomî sono composti coi simboli corrispondenti alle unità fondamentali, quali fattori, elevati a potenze intere o frazionarie: gli esponenti delle potenze sono quelli che si chiamano dimensioni fisiche delle grandezze rappresentate nella formula. È consuetudine scrivere queste espressioni monomie tra parentesi quadre, come negli esempî dianzi indicati.

Un altro significato, legato col precedente, ma ancora più importante hanno le formule dimensionali: indipendentemente dalle relazioni tra le unità, esse esprimono le convenzioni adottate per definire la moltiplicazione e la divisione delle grandezze fisiche concrete fra loro. Ogni equazione fisica, come, p. es.:

(perimetro del triangolo = somma dei lati) può essere interpretata in doppio modo: o come equazione numerica, cioè equazione fra i numeri che misurano le grandezze in base a certe unità; o come equazione concreta, nella quale i simboli indicano le grandezze stesse, anziché i numeri che le misurano. Questa seconda significazione è la più lata e feconda, perché è indipendente dalla scelta delle unità, e consente di usare unità diverse nei due membri e anche nei diversi termini di uno stesso membro. La formula scritta or ora come esempio, interpretata come concreta, esprime una relazione dove entra una somma geometrica di segmenti, e può essere tradotta, p. es., così:

Ma perché possa accettarsi in significato concreto un'equazione fisica, in cui figurano grandezze eterogenee (moltiplicate o divise fra loro), è necessaria una convenzione la quale definisca il significato della moltiplicazione e divisione delle grandezze medesime. Così, se oltre a stabilire nel solito modo geometrico l'addizione delle lunghezze, si stabilisce di riguardare come prodotto di due lunghezze concrete la superficie del rettangolo che ha quelle lunghezze come lati, siamo autorizzati a scrivere l'area del triangolo sotto la forma

essendo A, b, h interpretati non come numeri che misurano le singole grandezze, ma come grandezze esse stesse. Similmente, dopo una convenzione che stabilisce il quoziente fra una lunghezza e un tempo essere una certa velocità, si scrive

e se questa formula si intende come concreta, resta valevole indipendentemente dalle unità prescelte per misurare le diverse grandezze, perché, p. es.:

e con questa interpretazione le regole per riduzioni e trasformazioni di misure e di unità risultano dalla formula stessa. Con relazione a questi due esempî, le formule dimensionali

traducono succintamente le convenzioni adottate per definire le potenze, i prodotti, i quozienti delle grandezze concrete.

Un tempo si pensava che le formule dimensionali potessero fornire informazione sulla natura intima delle grandezze fisiche; e molte ricerche vane furono indirizzate a questo intento. Oggi, con maggiore avvedutezza, si riconosce che esse formule sono l'effetto di convenzioni, e non si può sperare di ritrovarvi se non il riflesso dei metodi adottati per stabilire le equazioni fisiche. Ogni dato sistema di equazioni fisiche porta con sé un determinato insieme di formule dimensionali, e con questo insieme vengono a trovarsi omogenei tutti quegli infiniti sistemi di unità che sono in accordo con quelle equazioni. Ma, quando si passa da un sistema di unità fisiche a un altro (p. es., dal sistema elettrostatico a quello elettromagnetico e da questi a quello gaussiano), cambia l'insieme delle equazioni dimensionali, e allora si hanno tanti altri insiemi di sistemi di unità, incompatibili fra loro.

Quantunque le formule dimensionali non siano adatte a fornirci indicazioni recondite sopra la natura delle grandezze e dei fenomeni, esse riescono sempre di molta utilità: a) perché insegnano le regole per le trasformazioni di unità e le riduzioni delle misure da un sistema a un altro; b) perché dànno il modo di controllare le equazioni fisiche risultanti da operazioni o da calcoli, facendo la verifica dell omogeneità (in un equazione una somma di termini o un'eguaglianza non può aver senso se i termini che si sommano o si uguagliano non sono omogenei dimensionalmente); c) perché in alcuni casi la parte principale di alcune formule e leggi fisiche si lascia prevedere in base a considerazioni dimensionali.

La struttura effettiva delle formule dimensionali dipende dal numero e dalla scelta delle grandezze che si vogliono riguardare come fondamentali; e l'evoluzione degli insiemi di formule dimensionali avviene quindi parallela con quella dei sistemi assoluti di unità fisiche. Per molto tempo ha regnato il preconcetto di dover esprimere tutte le dimensioni fisiche in funzione di tre sole, di natura meccanica; e come fondamentali si sceglievano di regola la lunghezza [L], la massa [M] e il tempo [T]; e in connessione con i primi sistemi assoluti di unità si è avuto un gruppo di formule dimensionali per le grandezze meccaniche, che poi si ramificava in due o meglio in tre (quello elettrostatico, quello elettromagnetico e quello gaussiano, già ricordati), quando si perveniva nel dominio dell'elettrofisica. Le formule dimensionali che risultavano erano assai complicate per le grandezze elettriche, e irte di esponenti frazionarî, e vi si faceva sopra un lungo studio, che poteva essere giustificato solo dalla presunzione di apprendere attraverso le dimensioni fisiche ciò che dall'esperienza non veniva attinto. Abbandonata poi l'idea di dover spiegare per via meccanica tutti i fenomeni fisici, abbandonato il pregiudizio della fondazione trinitaria dei sistemi di dimensioni e di unità, si è riconosciuta l'opportunità di introdurre altre dimensioni fondamentali: così, nel campo stesso della meccanica, l'angolo piano e solido, l'avvolgimento, l'attenuazione, ecc.; nel campo della termodinamica, la temperatura ed eventualmente altre grandezze; in quello dell'elettrofisica, una ed eventualmente anche due grandezze proprie di questo gruppo. Con questo, le formule dimensionali sono diventate più facili e semplici, e le relazioni che esse insegnano sono maggiormente ovvie; e si può dire che i capitoli sullo studio delle dimensioni fisiche hanno perduto parte della loro importanza nell'insegnamento: e in alcuni corsi moderni vengono quasi del tutto omessi o sottintesi.

Passiamo ad esporre le formule dimensionali delle principali grandezze, tenendo presenti le equazioni fisiche in quella forma che è adottata più comunemcnte, e facendovi figurare il massimo numero di dimensioni fondamentali fra quelle consuete, perché il passaggio ai sistemi con minor numero di fondamentali si fa agevolmente, mentre non vi sarebbe modo di fare il passaggio inverso.

A) Gruppo delle grandezze meccaniche. - Dimensioni fondamentali: lunghezza [L]; massa [M]; tempo [T]; angolo piano [ϕ]; angolo solido [Φ], a cuí per certi calcoli speciali si possono aggiungere queste altre, puramente matematiche: avvolgimento [σ]; attenuazione [y]; ed eventualmente altre. Formule per le grandezze derivate: area [L²]; volume [L³]; velocità lineare [LT^-1]; accelerazione lineare [LT^-2]; portata [L³T^-1]; velocità angolare [ϕT^-1]; accelerazione angolare [ϕT^-2]; forza meccanica traslatoria [MLT^-2]; forza rotatoria, o sforzo torcente, o momento di coppia [ML²T^-2ϕ^-1]; momento d'inerzia [ML²ϕ^-2]; energia o lavoro [ML²T^-2]; potenza [ML²T^-3]; quantità di moto lineare o impulso [MLT^-1]; fattore newtoniano dell'attrazione universale [M^-1L³T^-2]; e così via di seguito. Le formule di tipo più antico, ove figurano le sole [L], [M], [T], si ottengono sopprimendo semplicemente le altre dimensioni. P. es.. se l'angolo piano viene definito come rapporto tra l'arco e il raggio, acquista carattere di numero puro, senza dimensioni fisiche, e allora le dimensioni della velocità angolare sono [T^-1], quelle del momento di coppia sono [ML²T^-2], ecc.

B) Gruppo delle grandezze termiche. - Quasi inevitabilmente, alle dimensioni meccaniche fondamentali, occorre aggiungere quella di temperatura [θ]. La quantità di calore [Q] ha la dimensione di un lavoro oppure è indipendente secondo che ci si appoggi o no a una metrologia in cui l'equivalente meccanico del calore sia esattamente conosciuto. Prendendo la seconda alternativa come più generale, si ha in [Qθ^-1] la dimensione dell'entropia, in [QL^-2T^-1] quella del flusso termico specifico, in [Qθ^-1M^-1] quella del calore specifico, in [Qθ^-1L^-1T^-1] quella della conducibilità termica, e così oltre. Quando invece si voglia passare a ricordare che il calore è misurabile come lavoro, non vi è che da sostituire in luogo di [Q] la espressione dimensionale [ML²T^-2] per ricavare le formule senza [Q].

C) Gruppo delle grandezze fotometriche. - Come dimensione indipendente, occorre una sola, p. es., quella di quantità di luce (quella grandezza che si misura in candele o in lumen); dividendo per il quadrato di una lunghezza si ha la corrispondente grandezza specifica, illuminazione o splendore, o vettore del flusso luminoso; e altre grandezze che occorrono più di rado, si ricavano in conseguenza. Per la fotometria cromatica, invece, la dimensione della quantità di luce è sostituita da tre altre che corrispondono alle tre sensazioni fondamentali dell'occhio (v. cromatica, XII, p. 22 seg.).

D) Gruppo delle grandezze elettriche e magnetiche. - In molte forme si possono costruire sistemi dimensionali per l'elettrofisica. Un sistema di tipo moderno, simmetrico e completo, si ha introducendo due dimensioni fondamentali, voltaggio [V], e amperaggio [A], le quali si riducono a una sola quando le due grandezze si intendano defi1iite e collegate in inodo che [VA] = potenza = [ML²T^-3]. In funzione di queste due, e senza fare intervenire [M], si ha: quantità d'elettricità [AT]; flusso magnetico = [VT]; resistenza elettrica [VA^-1]; resistività = [VA^-1L]; conduttanza elettrica = [AV^-1]; conducibilità = [AV^-1L^-1]; capacita = [AV^-1T]; capacitività o costante dielettrica = [AV^-1L^-1T]; induttanza = [VA^-1T]; induttività = [VA^-1L^-1T]; forza magnetomotrice [A]; reluttanza [AV^-1T^-1]; momento magnetico vero = [VLT]; momento magnetico libero = [AL²]; forza elettrica di campo, o gradiente di voltaggio = [VL^-1]; forza magnetica di campo = [AL^-1]; induzione elettrica o spostamento elettrico specifico = [ATL^-2]; induzione magnetica o spostamento magnetico specifico = [VTL^-2]; ecc. Un completamento ulteriore si ha introducendo come dimensione autonoma, anziché come numero puro, quella di avvolgimento (ricordata più sopra, grandezza da misurarsi in spire) = [σ], nel qual caso [VT] rimane come dimensione dell'impulso elettromotore, mentre quella del flusso magnetico diviene [VTσ^-1], e le formule delle altre grandezze magnetiche si modificano in conseguenza. Un sistema formalmente equivalente si ha introducendo nelle leggi circuitali la costante di Gauss e ritenendola dotata di dimensione fisica.

Le formule dei classici sistemi elettrostatico ed elettromagnetico si ricavano dalle precedenti assumendo come prive di dimensioni la capacitività o l'induttività magnetica rispettivamente, e in ogni caso anche la costante gaussiana; combinando queste posizioni alternative con l'equazione [VA] = [potenza], si ricavano [V], [A], espresse in due diversi modi in funzione di [L], [M], [T]; e quindi in funzione di queste tre dimensioni meccaniche fondamentali vengono espresse tutte le altre grandezze elettriche e magnetiche, ma in forma artificiosa e con esponenti frazionarî. Si ricorderà, p. es., che la resistenza elettrica acquistava le dimensioni di una velocità nel sistema elettromagnetico e quelle della reciproca di una velocità in quello elettrostatico. In qualunque trattato di fisica o di elettrotecnica si possono trovare le tabelle complete delle formule dimensionali nei due detti sistemi.

Differiscono dai medesimi i due sistemi neoelettrostatico, e neoelettromagnetico (detti anche elettrostatico ibrido ed elettromagnetico ibrido), nei quali viene introdotta come quarta fondamentale la dimensione della capacità o dell'induttività. Questi sono sistemi omogenei fra loro e col sistema [A], [V], di cui sono state esposte le formule, ma non coi due sistemi classici.

Un altro sistema, autonomo, non omogeneo e non paragonabile a quelli esposti, è il sistema gaussiano, che è simultaneamente elettrostatico ed elettromagnetico; anch'esso esprime tutte le dimensioni elettriche e magnetiche in funzione di [L], [M] e [T], ma con formule sue proprie; la simultaneità del carattere elettrostatico (cioè: capacitività = numero puro) col carattere elettromagnetico (cioè: induttività = numero puro) è ottenuta col tener conto di un coefficiente dimensionato (cosiddetta costante gaussiana) nelle relazioni che legano elettricità col magnetismo. Della stessa natura è il sistema proposto recentemente da Leigh Page.

Bibl.: J. C. Maxwell, Treatise on Electricity and Magnetism, Oxford 1881, ed edizione successive, voll. 2; J. C. Everett, Illustrations of the C. G. S. System of Units, 1875-1891; Electric Units and Standards, Washington 1920 (Circular N. 60 of the U. S. Bureau of Standards); A. E. Kennelly, Historical outline of electrical units, varie edizioni, 1928-29; P. W. Bridgman, The theory of electric dimensions, Cambridge Mass. 1931, e edizione tedesca aumentata da H. Holl, Lipsia 1932; Bulletin of the National Research Council, n. 93 (On the Systems of Electrical and Magnetic Units), Washington 1933.