differenziabilità
differenziabilita
differenziabilità Termine usato in matematica e geometria per indicare la proprietà di una funzione di essere differenziabile in un punto. Per funzioni reali di variabile reale, ciò significa essere localmente ben approssimabili da una funzione lineare. Più precisamente, data una funzione reale di una variabile reale y=f(x), preso un punto x0 dell’insieme di definizione dove la funzione risulti derivabile con derivata prima f′(x0), e indicando con Δx la differenza x−x0, dicesi differenziale df della funzione in x0 la (funzione di Δx) df=f′(x0) Δx (➔ differenziale). Nell’interpretazione geometrica, nel punto di coordinate (x0,y0=f(x0)) esiste la retta tangente (non verticale) al grafico della funzione. Essa ha inclinazione (in gergo coefficiente angolare) f′(x0) ed equazione y−y0=f′(x0)(x−x0)=f′(x0)Δx. Ne consegue che il differenziale è l’incremento df=y−y0 (non necessariamente positivo) dell’ordinata lungo la retta in corrispondenza all’incremento x−x0 in ascissa. Ponendo inoltre Δf=f(x)−f(x0) risulta che la differenza Δf−df fra l’incremento della funzione e l’incremento della retta tangente è (una funzione di Δx) infinitesima di ordine superiore al primo al tendere a 0 di Δx. Intuitivamente, quando Δx è sufficientemente piccolo, la differenza Δf−df è trascurabile. Per la funzione lineare f(x)=x risulta dx=Δx e si ha allora df=f′(x0)dx, ovvero f′(x0)=df/dx, che esprime la derivata come rapporto dei differenziali della funzione f(x) e della funzione x. Derivabilità e d. in un punto riassumono quindi la stessa proprietà di regolarità (continuità ed esistenza di tangente) della funzione in x0. Passando a funzioni reali z=f(x, y) di due variabili reali, la cui immagine geometrica è una superficie dello spazio, la d. si esprime tramite il differenziale totale; nel punto di coordinate (x0,y0,f(x0,y0)) esso è dato da df=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy. Ivi dx=x−x0, dy=y−y0 e fx(x0,y0), fy(x0,y0) sono le derivate parziali prime della f (calcolate in (x0,y0)), cioè le derivate delle funzioni f(x,y0), funzione della sola variabile x, e f(x0,y), della sola y. In condizioni di regolarità (non solo esistenza ma anche continuità delle due derivate parziali) il differenziale totale approssima, a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo rispetto alla distanza fra (x,y) e (x0,y0), l’incremento Δf=f(x,y)−f(x0,y0), della funzione. Anche questa approssimazione è molto precisa quando la funzione viene sostituita dalla sua approssimazione lineare (il grafico della curva z=f(x,y) viene sostituito da quello del suo piano tangente in (x0,y0,f(x0,y0)), di equazione z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy. Si deve sottolineare che la semplice esistenza delle due derivate parziali non garantisce la regolarità della f(x,y); intuitivamente, in assenza di continuità delle stesse, essa potrebbe avere un comportamento anche molto irregolare fuori dalle rette x=x0 e y=y0. Anche se viene a mancare l’interpretazione geometrica, il concetto di d. si può immediatamente estendere per via algebrica a funzioni reali di n variabili reali e in maniera più sofisticata a funzioni aleatorie.