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derivazione numerica

Enciclopedia della Matematica (2013)
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derivazione numerica


derivazione numerica metodo di calcolo approssimato utilizzato in analisi numerica per la determinazione della derivata, fino a un certo ordine, di una funzione y = ƒ(x) che abbia una espressione analitica di difficile derivazione immediata oppure per la quale sia nota una tabella di valori. I procedimenti di derivazione numerica si basano essenzialmente sulla sostituzione delle derivate con opportuni rapporti incrementali. Il metodo parte dalla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale

formula

Non si perde di generalità se si definisce la derivazione numerica come unʼapprossimazione del valore della derivata prima ƒ′′(x) di una funzione y = ƒ(x) calcolata in un punto appartenente al suo dominio: y′ = ƒ′′(x0). Infatti il calcolo delle derivate successive può essere ricondotto sempre a questo metodo, seppur con qualche piccola modifica. I metodi numerici per il calcolo della derivata si applicano con opportune approssimazioni basate sulla trasformazione di differenze infinitesime in differenze finite (metodo alle differenze finite):

formula

la derivata viene approssimata dalla differenza finita in avanti (forward difference approximation), sostituendo al valore esatto della derivata il valore del coefficiente angolare della retta passante per il punto dato xi e per il punto successivo xi+1;

formula

la derivata viene approssimata dalla differenza finita allʼindietro (backward difference approximation), sostituendo al valore esatto della derivata il valore del coefficiente angolare della retta passante per il punto dato xi e il punto precedente xi−1;

formula

la derivata viene approssimata dalla differenza finita centrale (central difference approximation) sostituendo al valore esatto della derivata il valore del coefficiente angolare della retta passante per il punto precedente xi−1 e il punto successivo xi+1 a quello dato.

Riportando su un grafico i tre metodi di approssimazione, si può evidenziare la differenza tra la pendenza di ciascuna retta, calcolata con i metodi approssimati, e la pendenza della retta tangente in xi, rappresentante il valore esatto di ƒ′(xi).

Si può scegliere per semplicità una partizione dell’insieme di definizione della funzione ƒ(x) in modo tale che i valori {xi} siano equispaziati, ossia xi+1 – xi = h, con h costante in tutto lʼintervallo di definizione. Lʼerrore che si commette è tanto minore quanto più piccolo si sceglie h. Infatti è possibile stimare lʼerrore attraverso lo sviluppo in serie di Taylor della funzione ƒ(x) nellʼintorno del punto xi:

formula

Ponendo xi+1 − xi = h:

formula

per h → 0. Lʼerrore in questo metodo è pertanto dellʼordine di h. Analogamente si ricava la formula della differenza finita centrale:

formula

Sottraendo la (b) alla (a) si ottiene:

formula

per h → 0. Si dimostra così che questa formula è più accurata della precedente, avendo un errore che è dellʼordine di O(h2).

Si può sempre usare la formula di Taylor per approssimare le derivate di ordine superiore. Per esempio, per calcolare ƒ″(x) si usa il seguente sviluppo di Taylor, dove xi+2 = xi + 2h:

formula

Sottraendo due volte la (a) alla (c) e risolvendo rispetto a ƒ″(xi) si ottiene la seguente formula:

formula

per h → 0. Si può interpretare il risultato come un metodo di approssimazione in avanti della derivata seconda, avente un errore dellʼordine di O(h). Le approssimazioni del calcolo delle derivate sono usate soprattutto nei metodi numerici per la soluzione delle equazioni differenziali, sia ordinarie che alle derivate parziali.

DERIVAZIONE NUMERICA

Tag
  • EQUAZIONI DIFFERENZIALI
  • INSIEME DI DEFINIZIONE
  • RAPPORTO INCREMENTALE
  • COEFFICIENTE ANGOLARE
  • DERIVATE SUCCESSIVE
Vocabolario
derivazióne¹
derivazione1 derivazióne1 s. f. [dal lat. derivatio -onis, der. di derivare «derivare1»]. – 1. L’atto, l’operazione, il fatto di derivare o di essere derivato, e il modo o il processo attraverso cui si deriva (nel sign. trans. e intr. di...
derivazióne²
derivazione2 derivazióne2 s. f. [dal fr. dérivation; v. derivare2]. – Deviazione del proietto di un’arma rigata dal piano di tiro, dovuta al moto di rotazione impresso al proietto dalla rigatura dell’arma.
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