derivata

derivata

derivata [s.f. dall'agg. derivato] [ANM] Il risultato dell'operazione di derivazione: nella sua forma più semplice, cioè nel caso in cui f(x) sia una funzione reale di una variabile reale x, la d. di f(x) in un punto x₀, che si denota con f'(x₀) o Df(x₀) o df(x₀)/dx, è, per definizione, il limite del rapporto incrementale, ossia, ove esista, la quantità lim³x→0[f(x₀+³x)-f(x₀)]/³x. La d. traduce, in questo caso, l'idea intuitiva di pendenza del diagramma della funzione f(x) nel punto x₀, rappresentando il coefficiente angolare, tanα, della retta tangente a f(x) nel punto x₀ (v. fig.). In senso funzionale, la d. di una funzione f(x) è la funzione che a ogni x associa la d. di f(x) nel generico punto x. Questa nozione di d. ha spesso nella fisica un significato notevole: per es., se s(t) è l'equazione oraria del moto di un punto, la d. s'(t) (che in questo caso si denota spesso, seguendo la notazione newtoniana, s‧(t)) è la sua velocità. La tab. dà la d. di alcune funzioni elementari. La nozione di d. si estende a casi più generali (d. direzionale, parziale, totale, covariante, ecc.) per le quali si rimanda alle qualifiche specifiche (per alcune, v. oltre). ◆ [ANM] D. covariante: di un vettore, v. tensore: VI 125 c. ◆ [ANM] D. direzionale: data una funzione f(x): Rn→R, è la d. lungo una direzione di Rn; detto u il versore di tale direzione, è dunque, se esiste, la quantità limh→0[f(x+hu)-f(x)]/h. Quando u è il versore di un asse coordinato x, la d. direzionale è detta d. parziale rispetto a quella coordinata (v. oltre). ◆ [ANM] D. di una distribuzione: v. distribuzioni, teoria delle: II 222 a. ◆ [ANM] D. di una funzione analitica: v. funzioni di variabile complessa: II 777 b. ◆ [ANM] D. euleriana: la d. parziale rispetto al tempo di una funzione, scalare o vettoriale, del posto e del tempo, così detta perché è relativa a un dato posto; si contrappone a d. lagrangiana (v. oltre). ◆ [ANM] D. funzionale: v. funzionale, analisi: II 768 f. ◆ [ANM] D. lagrangiana: la d. totale rispetto al tempo di una funzione f, scalare o vettoriale, del posto e del tempo: df/dt=(ðf/ðt)+Σi=3i=1 (ðf/ðxi)(ðxi/ðt), dove ðf/ðt è la d. euleriana (v. sopra). ◆ [ANM] D. materiale: lo stesso che d. lagrangiana. ◆ [ANM] D. normale: data una funzione definita in un dominio D⊂R2 e una curva C definita su D, è, in ogni punto (x,y)∈D, la d. direzionale nella direzione normale a C. ◆ [ANM] D. parziale: assegnata una funzione w=f(x, y, z,...), reale, di m variabili reali, e fissato un punto interno al suo campo di definizione P(x₀, y₀, z₀,...) è (in contrapp. alla d. ordinaria che è quella sopra definita per funzioni di una sola variabile) rispetto alla variabile x la d. (ove esista) della funzione f(x, y₀, z₀,...) della sola variabile x, che si ottiene fissando i valori y=y₀, z=z₀,... delle altre variabili e lasciando variare la x; analogamente si definiscono le d. parziali rispetto alle altre variabili. Ciascuna di tali d. parziali è quindi una funzione delle variabili x, y, z,... e si chiama anch'essa d. parziale (prima, in contrapp. alle d. parziali successive). Le d. parziali si indicano con i simboli ∂f/∂x, ecc., fx, ecc., Dxf, ecc. ◆ [ANM] D. spaziale: ogni d. fatta rispetto a una variabile rappresentante una grandezza spaziale, per es. la d. parziale rispetto a una delle coordinate. ◆ [ANM] D. successive: data una funzione reale y=f(x) e considerata (ove esista) la sua funzione d. (prima) f'(x), tale funzione può ammettere una propria d. (prima), che si dice d. seconda della funzione di partenza, e s'indica con y'', f''(x), D2f(x), d2f/dx2; la d. della d. seconda si dice d. terza, e così via. Analogamente accade per le d. parziali. ◆ [ANM] D. temporale: una d. fatta rispetto alla variabile rappresentante il tempo. ◆ [ANM] D. totale: se w=f(t, x, y,...) è una funzione delle variabili t, x, y,... e se x, y, ... sono a loro volta funzioni di t, la w risulta in definitiva funzione della sola t, cioè w=F(t); la d. di questa funzione si dice d. totale della funzione w e vale F'(t)=(∂f/∂t)+(∂f/∂x)(dx/dt)+ (∂f/∂y) (dy/dt)+...; la d. totale è pertanto la d. della w, tenendo conto della sua dipendenza da t sia direttamente, sia attraverso x, y, z...