CURVE STATISTICHE

CURVE STATISTICHE (XII, p. 180)

STATISTICHE La curva logistica. - Nata occasionalmente da ricerche sulle fasi di crescenza dì certe popolazioni, la curva logistica trova oggi applicazione in altri campi di studio. Fu merito del matematico belga P. F. Verhulst (1838) d'averne data la formula movendo da due ipotesi: 1) che la popolazione, se non trovasse ostacoli nella penuria, attuale o temuta, dei mezzi di sussistenza, si svilupperebbe secondo la nota progressione geometrica malthusiana, ogni tant'anni; 2) che gli ostacoli a tal progredire crescano proporzionalmente al quadrato del numero degli abitanti viventi su quel dato territorio. Di qui un'equazione differenziale, che integrata diventa:

dove e (base dei log. nat.) = 2,71828...; t è il tempo; y(t) è la popolazione al tempo t; C, A ed h sono costanti determinabili mediante le statistiche a disposizione. Se tali costanti hanno valore unitario, la funzione

assume i valori numerici della seguente tabella, i quali, in rappresentazione grafica ordinaria, descrivono una curva simile ad una S maiuscola distesa.

Come si vede, ciascun numero della prima colonna è complemento all'unità, rispetto a quello che gli si trova allineato di fronte nella seconda. Infatti:

Il punto S dell'ordinata relativa all'origine dei tempi è un punto di flesso in cui la curva si muta, rispetto all'asse del tempo, da convessa in concava.

Se C, A ed h hanno valori qualsiasi, l'andamento della curva rappresentativa della:

è analogo a quello indicato in figura, purché C, A ed h siano tutti e tre positivi. La curva ha cioè la forma di una S allungata, è sempre crescente per t crescente, ed è tutta contenuta tra l'asse dei tempi e la parallela ad esso alla distanza C, tali due rette risultando due asintoti della curva (logistica limitata). Se invece A è negativo, si ha una curva logistica illimitata, la quale diviene infinita per un valore finito del tempo.

Le linee di popolazione, come si trovano descritte da varî autori, sono spesso curve logistiche limitate. Conoscendosi i valori della popolazione in tre tempi diversi t₀, t₁, t₂, e siano essi rispettivamente y₀, y₁, y₂, si hanno tre equazioni per determinare C, A, ed h. Se anzi si suppone t₀ = 0, t₁ = 1 e t₂ = 2, cioè i tre valori del tempo equidistanziati, e y₀, y₁, y₂ succedentisi in ordine crescente, resta determinata una curva logistica limitata allora ed allora soltanto che sia soddisfatta la condizione che il termine medio superi la media geometrica degli estremi; precisamente, si ha:

Esempio: La popolazione italiana censita il 31 dic. 1881 constava di 28.459.628 ab. ed era calcolata di 32.704.166 alla fine del 1901 e di 37.171.425 alla fine del 1921; tre valori a distanza precisa di un ventennio l'uno dall'altro. Accertato che quello di mezzo supera la media geometrica degli estremi, la terna si può disporre su una logistica limitata, la cui equazione sarebbe:

Negli Annali di Statistica, serie VI, vol. X, p. 5, B. De Finetti usando valori non rigorosamente equidistanti, propose l'equazione:

secondo la quale la popolazione italiana raggiungerebbe in futuro un massimo di 125 milioni di ab. invece di 86 circa. Citiamo il caso unicamente per avvertire la "sensibilità" della logistica anche a piccole differenze di grandezza o di intervalli dei dati, su cui fu impostato il calcolo. I dubbî su la precisione dei nostri censimenti, in occasione dei quali fu deplorata la tendenza di non pochi comuni ad accrescere con artifizî il numero dei loro abitanti, si aggiungono a raccomandare prudenza nell'applicazione della formula, massime quando si voglia, a scopo di previsione, estrapolare molto al di là del periodo d'osservazione.

Posto che si abbiano a disposizione quattro elementi statistici, l'aggiunta di una nuova costante provvede a completare la funzione precedentemente considerata nella:

la quale, se K, C, A ed h sono costanti positive rappresenta una curva logistica limitata, i cui due asintoti sono paralleli all'asse del tempo rispettivamente alla distanza K (asintoto inferiore) e C + K (asintoto superiore).

Gli studî di R. Pearl in materia di biologia umana segnarono per così dire, la reviviscenza della logistica di P. F. Verhulst, caduta in dimenticanza da ben tre quarti di secolo. Lo scienziato americano, esaminando le fasi di sviluppo di numerose popolazioni di paesi civili, ha fatto largo uso della formula da lui e da L. J. Reed riscoperta indipendentemente dall'avvenuto per opera del matematico belga; e i risultati da lui ottenuti, se pur rimontano a cinque lustri addietro, servono ottimamente ancora per un quadro di confronti internazionali.

Nella 1ª colonna del seguente prospetto è indicata in migliaia di ab. la popolazione di partenza o più vicina all'asintoto inferiore; la 2ª indica quella futura, prevista per il tempo in cui sarà raggiunto l'asintoto superiore; nella 3ª è la differenza tra i numeri delle due prime. Vengono poi i valori delle costanti A ed h, quest'ultima particolarmente atta a stabilire la graduatoria dei varî paesi:

Con la scorta di questi dati ognuno può ricostituire le equazioni del Pearl, valide naturalmente per il tempo e nelle condizioni in cui furono calcolate. Esempio:

Se dalla considerazione di uno stato nel suo complesso passiamo a quella delle sue parti, possono presentarsi situazioni di contrasto, che è bene segnalare. Già dicemmo come, dati tre valori in ordine crescente, la condizione perché essi giacciano su una logistica limitata, è che il termine di mezzo superi la media geometrica degli altri due. Ora in alcuni distretti del paese può essere che quella condizione non si verifichi; sicché in tal territorio, continuo o non continuo che sia, sarebbe applicabile la logistica illimitata o una curva d'altro andamento, perfino decrescente. La curva dell'insieme risulterebbe allora da un giuoco di compensi di linee molto dissimili. Certamente col tempo si aggiusterebbero le cose per via di migrazioni interne o esterne; ma il quesito merita discussione.

A conclusione della teoria quantitativa della popolazione fu detto che col procedere del mondo verso la saturazione demografica, non solo ogni zolla utilizzabile sarà coltivata nei modi migliori, ma anche il costume della limitazione della prole, già dilagante oggi, diventerà quasi una seconda natura presso ogni strato sociale, fino a pareggio della natalità con la mortalità. Ed ogni gente, toccato un certo asintoto superiore, non se ne staccherà che per oscillazioni accidentali. È un'opinione discutibile. Secondo altri, che suppongono diminuire la capacità procreativa via via che l'uomo civile sviluppa le sue facoltà mentali (Spencer), l'equilibrio finale fra natalità e mortalità si effettuerà naturalmente in forza di tale contrasto. Ed altri ancora non rifuggirebbe dal credere che, superate le avversioni di colore, la mescolanza delle razze umane possa avere effetti limitanti la fecondità, di cui il caso estremo si osserva negli ibridi di animali.

Altro dominio di competenza della logistica è quello assai vasto delle pianificazioni. Quando, cioè, per legge scritta o per privata iniziativa si appresti un piano di lavoro con mezzi adeguati agli scopi prefissi, le serie statistiche dei risultati via via conseguiti sono o si presumono rappresentabili con l'equazione di P. F. Verhulst. I casi pratici non si contano. Si pensi che ogni creazione d'impresa di produzione o di commercio è in sostanza una pianificazione, i cui effetti si svolgono con un certo ritmo fino a toccare quel maximum che i mezzi predisposti consentono e oltre il quale non si va, se non si allarghino gli impianti o non si modernizzino. I legislatori fanno lo stesso dei privati, quando stanziano somme per certi scopi di pubblica utilità. Anche qui esempî senza numero. La legge italiana del 1877 sull'obbligatorietà dell'istruzione elementare ha dimostrato la sua efficacia nelle percentuali crescenti di coscritti alle leve di terra e di mare, capaci di leggere e scrivere; in quelle degli sposi che firmarono l'atto di matrimonio, ecc. Le curve che le descrivono, sono visibilmente logistiche limitate. Alcune circoscrizioni si trovano ancor lontane dall'asintoto superiore, che altre invece hanno raggiunto; ed è ovvio che la più arretrata segni il passo dell'insieme. Ma quant'altre forme di organizzazione sono in atto, sia per rendere migliori le condizioni igieniche dei comuni e creare ospedali o istituti d'isolamento per certe malattie, sia per prevenire infortunî nelle fabbriche, ecc., le quali potrebbero sottomettere i risultati conseguiti alla prova della logistica! Se ostacolo c'è, esso proviene da ciò, che spesso nuove leggi modificano quella in corso d'esperimento ed alterano l'andatura della linea di sviluppo; cosa non infrequente nelle imprese private, quando, sollecitate dalla concorrenza, procedono a modifiche d'impianti, prima ancora che i mezzi d'avviamento siano stati sfruttati in pieno.

Queste iniziative di pubblico o privato interesse sono essenzialmente atti di volontà, cioè intenzionali. Forse non passa giorno senza che se ne registri qualcuno. Nelle discussioni sul carattere delle leggi statistiche essi forniscono argomenti alla tesi che le irregolarità delle serie, che troviamo comodo d'imputare a cause accidentali d'impossibile analisi, sono invece dovute, in parte, a fatti intenzionali.

Bibl.: P. F. Verhulst, in Correspondance mathématique et physique (dir. da A. Quetelet), 1838; id., Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population, in Mém. de l'Acad. roy. de Bruxelles, XVIII, 1844; id., Deuxième mémoire sur la loi etc., ibid., XX, 1946; R. Pearl e L. J. Reed, On the rate of growth of the population of the United States since 1790 and its mathem. representation, in Proc. Nat. Acad. Sc., VI, 1920; R. Pearl, Studies in human biology, Baltimora 1924; L. J. Reed e R. Pearl, On the summation of logistic curves, in Journal of the Royal Statistical Society, XC, iv, 1927; G. U. Yule, Discussion on the curve, ibid., LXXXVIII 1925; T. B. Robertson, The chemical basis of growth and senescence, Filadelfia 1923; L. Amoroso, Sulla dottrina della popolazione, Napoli 1931; id., Considerazioni sulla curva logistica, in Studi economici ed aziendali, Napoli, gennaio-marzo 1947; I. R. Miner, P. F. Verhulst, the discoverer of the logistic curve, in Human Biology, V, 1933; C. Gini e B. De Finetti, Calcoli sullo sviluppo futuro della popolazione italiana, in Annali di statistica, s. 6ª, X; Fr. Brambilla, Ricerche teoriche sulle leggi di sviluppo delle industrie nuove, in Giornale degli economisti, luglio-agosto 1939.