curva

curva

Tipo particolare di figura di uno spazio. Per intendere il concetto di c., che fin dall’antichità è  uno dei cardini del pensiero scientifico (geometrico e matematico), conviene appunto fare riferimento ad altri concetti fondamentali come quelli di spazio e di figura. La definizione rigorosa non può prescindere dalla tipologia di c. presa in considerazione.

Curva piana

È sinonimo di linea contenuta in un piano. La c. algebrica piana è rappresentabile tramite un’equazione algebrica nella coppia di variabili (x,y), ovvero è il luogo di tutti e soli i punti del piano che soddisfano l’equazione data. Alcuni esempi molto semplici, fra i tanti, sono: x−y−2=0 (retta parallela alla bisettrice del primo quadrante), x²+y²−1=0 (circonferenza con centro nell’origine e raggio unitario), 3x²−y=0 (parabola con vertice nell’origine e passante per il punto (1,3)).

Curva di livello

La c. di livello d di una funzione z=f(x,y) di due variabili reali è il luogo dei punti di coordinate (x,y) per i quali la funzione assume valore d. Le c. di livello hanno un ruolo fondamentale nello studio dell’economia.

Sono chiamate c. di indifferenza le c. di livello della funzione di utilità del consumatore: combinazione delle quantità (x,y) di due beni alle quali il consumatore attribuisce la medesima utilità.

La frontiera delle capacità produttive è invece il luogo dei punti rappresentativi della quantità di due beni (nel senso di prodotti) che un sistema economico è in grado di produrre.

Le c. (ovvero le rette) di isovalore sono i punti rappresentativi di combinazioni di produzioni con il medesimo valore. C. di indifferenza, frontiera delle capacità produttive e rette di isovalore sono i concetti base usati anche da P.R. Krugman (➔) per la sua teoria del commercio internazionale (➔ ).

Curva dei rendimenti

Descrive in un certo momento e in funzione delle varie durate il rendimento a termine (spot yield to maturity) corrisposto dal mercato ai titoli senza cedola (ZCB, Zero Coupon Bond; ➔ obbligazione ) e privi di rischio di insolvenza (default free) del debitore. Va ricordato che il rendimento a scadenza di uno ZCB di prezzo corrente B(0,T), con scadenza (misurata in anni non necessariamente interi) fra T anni, è definito come ln(100/B(0,T))/T. Intuitivamente è il tasso istantaneo (idealizzazione matematica del concetto di tasso a brevissima scadenza) costante che lo ZCB rende (dall’epoca corrente) fino a scadenza, ovvero il tasso istantaneo r ottenuto dalla soluzione della B(0,T)exp (rT)=100, da cui exp(rT)=100/B(0,T), rT=ln(100/B(0,T)) e dividendo ambo i membri per la T la conclusione. L’inclinazione della c. è influenzata dalle aspettative sull’andamento dei futuri tassi di interesse a breve (istantanei nella modellizzazione matematica). Quando la c. ha inclinazione negativa, il mercato si attende una riduzione dei tassi a breve. Al contrario, un’inclinazione positiva della c. corrisponde ad aspettative di un rialzo dei tassi. Collegata alla c. dei rendimenti a pronti è la c. dei rendimenti a termine, detta forward yield to maturity; formalmente ln (100/B(0,t,T))/(T−t), dove B(0,t,T) è il prezzo forward (➔) di uno ZCB di scadenza T, cioè il prezzo negoziato all’epoca zero da pagare in t per ricevere 100 in T. Entrambe le c. possono servire da sottostante per derivati sui tassi di interesse, come i cap (➔), i floor e le swaptions. Cap (e floor) sono i nomi attribuiti a opzioni call (e put) su tassi di interesse, swaption indica un’operazione di swap (➔ ) su tassi di interesse.