curva ellittica

curva ellittica

curva ellittica curva proiettiva piana E definita da un’equazione del tipo y² = x³ + ax + b con a e b tali che il discriminante δ_E = 4a³ + 27b² ≠ 0. Se E è una curva ellittica definita sui razionali, l’insieme E(Q) formato dalle soluzioni razionali della sua equazione con l’aggiunta del punto improprio Ω, ha la struttura di gruppo commutativo con elemento neutro Ω. Tre punti P, Q e R di E(Q) hanno somma Ω se e solo se appartengono alla stessa retta proiettiva (se uno dei due punti Q o R coincide con P, tale retta è la tangente a E in P). Tale gruppo è finitamente generato ed è esprimibile come somma di un gruppo finito e di un gruppo della forma Z_rE, dove rE è detto rango della curva ellittica E. Il concetto di rango è centrale nello studio delle proprietà aritmetiche delle curve ellittiche (→ Birch e Swinnerton-Dyer, congettura di).

A una curva ellittica E è associata una funzione di variabile complessa s, indicata con L(E, s) e detta funzione L definita dalla formula:

dove p è un numero primo il quale non divide δ_E, a_p = p − n_p, essendo n_p il numero delle soluzioni modulo p dell’equazione della curva, e il prodotto è eseguito su tutti i numeri primi p che non dividono δ_E. Si dimostra che questo prodotto infinito converge a una funzione analitica. La funzione L associata a una curva ellittica E è, quindi, definibile con la costruzione di un prodotto di Eulero a partire dal numero di punti della curva modulo ogni numero primo p. Si dice ordine di annullamento di L(E, s) in s = h l’intero non negativo k tale che la funzione può essere riscritta come (s − h)^k · ƒ(s), dove ƒ(s) è una funzione analitica che non si annulla per s = h.