Cauchy, criteri di convergenza di

Cauchy, criteri di convergenza di

Cauchy, criteri di convergenza di criteri che forniscono una condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza del limite finito di una funzione, di una successione o di una serie. Tali criteri hanno un enunciato assai simile a quello che definisce il limite, ma fanno riferimento alla differenza dei valori assunti dalla funzione in due punti prossimi al punto di accumulazione considerato anziché a quella tra un valore della funzione e il limite. Pertanto non richiedono la conoscenza preventiva del limite stesso, a priori, appunto, ignoto, ma solo della funzione o della successione in esame.

☐ Nel caso di una funzione a valori reali o complessi, il criterio di Cauchy stabilisce che condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione ƒ(x) ammetta limite finito per x → x₀ (finito o infinito) è che per ogni ε > 0, esista un intorno U di x₀ tale che per ogni x′, x″ ∈ U {x₀} risulti |ƒ(x′) – ƒ(x″)| < ε. Il criterio si estende con analogo enunciato a funzioni di più variabili (→ funzione di n variabili; → integrale improprio).

☐ Nel caso di una successione, il criterio di Cauchy assume la forma: condizione necessaria e sufficiente affinché una successione reale o complessa {s_n} ammetta limite finito è che per ogni ε > 0 esista un intero N = N(ε) tale che per ogni n, m > N risulti |s_n − s_m| < ε.

☐ Nel caso di una serie, il criterio stabilisce che condizione necessaria e sufficiente affinché la serie

converga, è che per ogni ε > 0, esista un intero N = N(ε) tale che per ogni n > N e per ogni p ≥ 0 risulti

Questi enunciati si estendono a spazi metrici completi e in particolare agli spazi di Banach sostituendo i moduli con le distanze o le norme, anzi, la loro validità equivale alla completezza dello spazio. In spazi non completi, le condizioni di Cauchy risultano sempre necessarie, ma non sono sufficienti a garantire l’esistenza del limite.