coordinate polari

coordinate polari

coordinate polari in geometria analitica, sistema di coordinate bidimensionale ottenuto fissando in un piano un punto O, detto polo, una semiretta a di origine O, detta asse polare, e un’unità di misura per le lunghezze. In tal modo, per un qualsiasi punto P del piano, distinto da O, restano definiti la lunghezza ρ del segmento OP, detto raggio vettore o modulo (che deve essere positivo), e l’angolo orientato θ (positivo o negativo) formato dalla semiretta a e dalla semiretta OP, cioè l’angolo descritto dalla semiretta a per sovrapporsi alla semiretta OP (è considerato positivo il verso antiorario). L’angolo θ, detto argomento o anomalia o ascissa angolare, è determinato a meno di un angolo giro e si sceglie perciò come valore privilegiato un angolo θ, detto argomento principale, sottoposto alla limitazione −π < θ ≤ π. I numeri ρ e θ sono detti coordinate polari del punto P. Il polo O ha raggio vettore nullo e anomalia indeterminata. Il sistema di riferimento così costruito è detto sistema di riferimento polare o, più semplicemente, riferimento polare. Associando al sistema polare un sistema cartesiano, avente il semiasse delle ascisse che coincide con l’asse polare, l’origine nel polo e uguale unità di misura, fra le coordinate cartesiane di un punto qualunque e quelle polari si stabiliscono le seguenti relazioni:

che consentono il passaggio da un sistema all’altro. Viceversa, per passare da coordinate cartesiane a coordinate polari, con polo coincidente con l’origine, asse polare coincidente con il semiasse positivo delle ascisse e stessa unità di misura, per ogni punto diverso dall’origine si ha:

dove con arctan si indica la funzione arcotangente. Molte curve possono essere descritte da una equazione in coordinate polari in modo più semplice che con la corrispondente equazione cartesiana. Per esempio, la rappresentazione polare della circonferenza di centro O e raggio ρ₀ ha equazione polare ρ = ρ₀. La spirale di Archimede ha equazione polare ρ = a + bθ. Una estensione allo spazio tridimensionale delle coordinate polari è costituita dalle → coordinate sferiche.