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convessita generalizzata

di Angelo Guerraggio - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
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convessità generalizzata

Angelo Guerraggio

Termine che designa gli studi tesi a estendere le proprietà delle funzioni convesse (o concave) – almeno quelle ritenute essenziali in un determinato contesto – a una classe funzionale più estesa. La convessità generalizzata ha avuto un particolare sviluppo nella teoria dell’ottimizzazione; in tale ambito, in generale, le ipotesi di convessità garantiscono che alcune condizioni note come necessarie diventino anche sufficienti e che i punti di minimo (o di massimo) locali lo siano anche in senso globale. Già nel semplice problema di ottimizzazione libera, l’ipotesi di convessità sulla funzione obiettivo (supposta dunque definita su un insieme aperto di ℝν) assicura che ogni punto stazionario (che cioè annulla tutte le derivate parziali prime della funzione obiettivo) sia anche di minimo, che ogni estremante locale sia anche globale, e che i punti estremanti costituiscano un insieme convesso. Le funzioni maggiormente indagate nella convessità generalizzata sono quelle quasi-convesse e quelle pseudo-convesse. Si definisce quasi-convessa una funzione f definita su un insieme convesso C⊂ℝν per cui risultano convessi gli ;insiemi di livello inferiore Cκ={x∈C tale che f(x)≤k} per ogni k∈ℝ. In modo del tutto equivalente, f (sempre definita su un insieme convesso C) è quasi-convessa quando per ogni x,y∈C e per ogni t∈[0,1] è soddisfatta la relazione f[tx+(1−t)y]≤ max[f(x),f(y)]. È facile osservare che ogni funzione convessa è anche quasi-convessa, mentre non vale il contrario (a questo proposito, basta considerare una qualunque funzione di una variabile crescente, il cui grafico presenti uno o più punti di flesso). Al di là della definizione, esistono criteri utili per il riconoscimento della quasi-convessità. Tali criteri richiedono che la funzione f sia differenziabile una o due volte. Le funzioni quasi-convesse godono comunque delle proprietà richiamate all’inizio per motivare la convessità generalizzata. In un problema di ottimizzazione libera, in particolare, è ancora vero che i punti estremanti di una funzione quasi-convessa costituiscono un insieme convesso. La classe delle funzioni pseudo-convesse è per così dire, almeno in ipotesi di continuità, intermedia tra quella delle funzioni convesse e quella delle funzioni quasi-convesse. Una funzione f, definita su un insieme convesso C⊂ℝν, è detta pseudo-convessa quando per ogni x,y∈C e per ogni t∈[0,1] è soddisfatta la relazione f[tx+(1−t)y]≤max[f(x),f(y)]−ta(x,y) dove a è una funzione positiva. Le funzioni pseudo-convesse sono tali che, in un problema di ottimizzazione libera, ogni punto stazionario è punto di minimo e ogni punto di minimo locale è anche punto di minimo globale.

→ Programmazione matematica

Vedi anche
estremante In matematica, per una funzione, l’estremante è un punto del suo campo di definizione, in corrispondenza del quale si ha un massimo o un minimo (un estremo) per la funzione. L’estremante si chiamerà relativo o assoluto se tale è l’estremo. Analoga definizione vale per un funzionale: in quest’ultimo caso ... convessità convessità Una figura (piana o solida) è detta convessa se, dati due suoi punti qualunque, il segmento che li congiunge appartiene interamente alla figura. Più in generale questa definizione si applica a tutti i sottoinsiemi di un generico spazio vettoriale reale. Casi notevoli: a) un angolo è convesso ... funzionale In matematica, variabile y che dipende non da una o più variabili, ma da una funzione f; in simboli: y=F(f). Un funzionale non è da confondere con una funzione composta (o funzione di funzione): la y è funzionale di f(x), se la funzione stessa f(x) è concepita come una variabile, e a ogni scelta della ... ottimizzazione In matematica applicata, e in particolare nella teoria delle decisioni, problemi di ottimizzazione, le questioni attinenti alla ricerca dei criteri di scelta tra diverse opzioni o di determinazione del valore di particolari parametri, di solito riconducibile alla ricerca del massimo o del minimo di funzioni ...
Categorie
  • ANALISI MATEMATICA in Matematica
Vocabolario
convessità
convessita convessità s. f. [dal lat. convexĭtas -atis]. – L’essere convesso: c. di una superficie; per una curva o superficie, equivale a concavità negativa (v. concavità); con sign. concr., la parte convessa di qualcosa: una mezzaluna...
convèsso
convesso convèsso agg. [dal lat. convexus «ricurvo», der. di convehĕre «raccogliere insieme, condurre», comp. di con- e vehĕre «trasportare»]. – In genere, di corpo che si presenta ricurvo come la parte esterna di un cerchio o di una sfera...
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