convessita generalizzata
convessità generalizzata
Termine che designa gli studi tesi a estendere le proprietà delle funzioni convesse (o concave) – almeno quelle ritenute essenziali in un determinato contesto – a una classe funzionale più estesa. La convessità generalizzata ha avuto un particolare sviluppo nella teoria dell’ottimizzazione; in tale ambito, in generale, le ipotesi di convessità garantiscono che alcune condizioni note come necessarie diventino anche sufficienti e che i punti di minimo (o di massimo) locali lo siano anche in senso globale. Già nel semplice problema di ottimizzazione libera, l’ipotesi di convessità sulla funzione obiettivo (supposta dunque definita su un insieme aperto di ℝν) assicura che ogni punto stazionario (che cioè annulla tutte le derivate parziali prime della funzione obiettivo) sia anche di minimo, che ogni estremante locale sia anche globale, e che i punti estremanti costituiscano un insieme convesso. Le funzioni maggiormente indagate nella convessità generalizzata sono quelle quasi-convesse e quelle pseudo-convesse. Si definisce quasi-convessa una funzione f definita su un insieme convesso C⊂ℝν per cui risultano convessi gli ;insiemi di livello inferiore Cκ={x∈C tale che f(x)≤k} per ogni k∈ℝ. In modo del tutto equivalente, f (sempre definita su un insieme convesso C) è quasi-convessa quando per ogni x,y∈C e per ogni t∈[0,1] è soddisfatta la relazione f[tx+(1−t)y]≤ max[f(x),f(y)]. È facile osservare che ogni funzione convessa è anche quasi-convessa, mentre non vale il contrario (a questo proposito, basta considerare una qualunque funzione di una variabile crescente, il cui grafico presenti uno o più punti di flesso). Al di là della definizione, esistono criteri utili per il riconoscimento della quasi-convessità. Tali criteri richiedono che la funzione f sia differenziabile una o due volte. Le funzioni quasi-convesse godono comunque delle proprietà richiamate all’inizio per motivare la convessità generalizzata. In un problema di ottimizzazione libera, in particolare, è ancora vero che i punti estremanti di una funzione quasi-convessa costituiscono un insieme convesso. La classe delle funzioni pseudo-convesse è per così dire, almeno in ipotesi di continuità, intermedia tra quella delle funzioni convesse e quella delle funzioni quasi-convesse. Una funzione f, definita su un insieme convesso C⊂ℝν, è detta pseudo-convessa quando per ogni x,y∈C e per ogni t∈[0,1] è soddisfatta la relazione f[tx+(1−t)y]≤max[f(x),f(y)]−ta(x,y) dove a è una funzione positiva. Le funzioni pseudo-convesse sono tali che, in un problema di ottimizzazione libera, ogni punto stazionario è punto di minimo e ogni punto di minimo locale è anche punto di minimo globale.