convergenza

convergenza

Si consideri il problema di trovare u tale che F(u,d)=0, dove d è l’insieme dei dati da cui dipende la soluzione e F esprime la relazione (detta anche legge funzionale) che lega u a d. Supponendo che il modello matematico F(u,d)=0 sia ben posto, ovvero che esista un’unica soluzione u e questa dipenda con continuità dai dati d, risolverlo in maniera approssimata con un metodo numerico significa costruire una successione di problemi approssimati F_ν(u_ν,d_ν)=0, con n≥1. Il parametro n è un indice del livello di difficoltà del problema approssimato (spesso è legato alla sua dimensione, ovvero al numero di gradi di libertà necessari a determinarne la soluzione). Diremo che il metodo numerico è convergente se

Più precisamente, se per ogni ε>0ⁿ esiste n0(ε)∈ℕ ed esiste δ(n₀,ε)>0 tale che per ogni n> n₀(ε) e per ogni δd_n tale che ∣∣δd_n∣∣〈δ(n₀,ε) allora ∣∣u(d)−u_n(d+δ_n)∣∣〈ε, dove d è un dato ammissibile per il problema F(u,d)=0, u(d) è la soluzione a esso corrispondente, u_n(d+δ_n) è la soluzione del problema numerico con dato d+δd_n. Abbiamo indicato con lo stesso simbolo ∣∣∙∣∣ delle norme opportune (non necessariamente le stesse) per l’insieme dei dati e quello delle soluzioni. A titolo di esempio consideriamo il seguente modello matematico: trovare la funzione y(x) soluzione del problema di Cauchy y′(x)=f(x,y(x)) per x∈(x0,b) con condizione iniziale y(x₀)=y₀, dove la funzione f e il dato y₀ sono assegnati. Un possibile modello numerico per la risoluzione del problema di Cauchy è dato dal metodo di Euler in avanti. Assegnato un parametro h>0 e definiti i nodi x_j=x₀+j∙h (per j=0,…,n e n=[(b−x₀)/h]), il metodo di Euler approssima la soluzione y(x) nei nodi x_j secondo la formula v_j+1=v_j+hf(x_j,v_j) (per j=0,…,n−1), con v₀=y₀. Nel caso in esame possiamo identificare la soluzione u del modello matematico con la funzione incognita y=y(x) e la soluzione numerica u_n con l’insieme dei valori {v₀,v₁,…,v_n}. Verificare che il metodo di Euler è convergente equivale a verificare che

nella norma discreta del massimo, ovvero che

Si osservi che ciò equivale in questo caso a

,

essendo

l’errore ottenuto in corrispondenza del parametro h. Si consideri per es. il problema di Cauchy y′(x)=x−y(x) per x≥−1 con condizione iniziale y(−1)=1, la cui soluzione esatta è y(x)=x−1+3e^−(χ+1) e lo si approssimi con il metodo di Euler, per diversi valori del parametro h.

→ Computazionali, metodi