convergenza
convergenza
convergenza in analisi, termine genericamente applicato a ogni “procedimento infinito” che ammette limite finito l. Il termine si applica a una successione, una serie, un integrale, una funzione, un algoritmo iterativo. La verifica di condizioni sufficienti per la convergenza è un passo preliminare per decidere se il procedimento possa essere applicato per il calcolo di l. Si cercherà peraltro di scegliere un procedimento che garantisca che la convergenza sia la più rapida possibile, cioè che si ottenga il risultato con la precisione richiesta con il minimo sforzo computazionale. Se la convergenza è lenta si possono utilizzare tecniche di accelerazione; per un esempio relativo alle serie numeriche si veda la serie di → Mengoli.
Il concetto di convergenza nel caso di una funzione ƒ reale di variabile reale si esprime dicendo che essa converge al numero reale l per x che tende ad α (eventualmente con α = ±∞) se il limite per x tendente ad α della funzione ƒ è l.
Per le varie accezioni del termine si vedano i seguenti lemmi: → serie numerica, convergenza di una; → serie di funzioni, convergenza di una; → serie di potenze, convergenza di una; → successione, convergenza di una; → integrale, convergenza di un; → algoritmo, convergenza di un.
Convergenza assoluta
Per una successione, una serie, un integrale, convergenza dei valori assoluti.
Convergenza debole
Tipo di convergenza di una successione {xn} in uno spazio normato X, definita con riferimento al suo comportamento rispetto agli elementi dello spazio duale X*. Si dice che {xn} converge debolmente a x se ∀x′ ∈ X* risulta
e si scrive
dove il simbolo w vale per weak, in inglese «debole»; oppure si scrive
(utilizzando la freccia a mezza punta detta harpoon). La disuguaglianza
implica che questo tipo di convergenza è più debole della convergenza forte, nel senso che essa è implicata dalla convergenza forte, ma non vale in generale il viceversa a meno che non si dimostri anche che risulta
In generale, se {xn} converge debolmente si può solo affermare che la successione delle norme {‖xn‖} è limitata, e che risulta
dove il trattino posto al di sotto del simbolo di limite indica il limite inferiore.
Per esempio, se X = L2(0, 2π), la successione xn = sin(nt) non converge fortemente, ma ammette x = 0 come limite debole. Infatti i valori xn(x) non sono altro che i coefficienti di Fourier di x′ ∈ X* = L2(0, 2π) (gli spazi di Hilbert sono riflessivi), e tali coefficienti sono infinitesimi per n → ∞. Si ha inoltre ‖xn‖ = √(π), quindi
Si noti che le sfere ‖x‖ = R non risultano chiuse per la topologia legata alla convergenza debole come lo sono per la convergenza forte, mentre le palle ‖x‖ ≤ R sono chiuse in entrambe le topologie.
Nello spazio duale X* si possono invece introdurre tre tipi di convergenza per una successione
• la convergenza forte, corrispondente alla convergenza in X* visto come spazio di Banach;
• la convergenza debole, con riferimento alle successioni
con x″ elemento generico del biduale X**;
• la convergenza debole * (si legga «debole stella»), con riferimento alle successioni
con x elemento generico dello spazio X.
Quest’ultima è la convergenza puntuale su X, e, poiché X ⊆ X**, essa è implicata dalle altre due. L’importanza di questa ultima nozione discende da diversi risultati, tra cui si segnala il fatto che la palla ‖x′‖ ≤ R è debolmente stella compatta (teorema di Banach-Alaoglu), o, equivalentemente, che da ogni successione limitata è possibile estrarre una sottosuccessione debolmente stella convergente.
Convergenza forte
Tipo di convergenza di una successione in uno spazio normato (in particolare, uno spazio di Banach) legata alla topologia naturale, cioè a quella indotta dalla norma dello spazio stesso. Una successione {xn} converge fortemente a x se
la convergenza forte è talvolta indicata con
L’aggettivo forte si usa di solito quando sia necessario distinguere tale convergenza dalla convergenza debole o da altri tipi di convergenza, perché questa è la forma più naturale di convergenza. Queste nozioni si generalizzano a spazi vettoriali topologici.
Convergenza incondizionata
Tipo di convergenza riferita a una serie. Si dice che la serie
converge incondizionatamente a S se ogni altra serie ottenuta permutandone i termini converge e ha la stessa somma S. La serie permutata è formalmente definita come
ove k = k(n) è una biiezione tra N e N. Una serie converge incondizionatamente se e solo se converge assolutamente (→ Riemann-Dini, teorema di).
Convergenza totale
Tipo di convergenza riferita a una serie di funzioni in (a, b); indica la convergenza della serie indipendentemente dal valore assunto dalla variabile. La serie
si dice totalmente convergente in (a, b) se la serie delle norme dei suoi termini
è convergente. Una serie totalmente convergente in (a, b) è uniformemente convergente in tale intervallo.
Convergenza uniforme
Tipo di convergenza per successioni e serie. La convergenza uniforme di una successione di funzioni {ƒn(x)} in un insieme E è così definita: ∀ε > 0, ƎN = N(ε) tale che ∀n > N, ∀x ∈ E si ha che |ƒn(x) − ƒ(x)| < ε. Più sinteticamente, si può dire che ∀n > N,
ovvero che la successione converge nella norma uniforme.
La convergenza uniforme di una serie corrisponde alla convergenza uniforme della successione delle sue somme parziali, da distinguersi dalla convergenza totale che riguarda la convergenza della serie numerica della norma uniforme del termine generale della serie data. Questo tipo di convergenza è richiesto nei teoremi di passaggio al limite e di derivazione per serie e successioni: → Weierstrass, criterio di (per una serie di funzioni).