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matrici, congruenza di

Enciclopedia della Matematica (2013)
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matrici, congruenza di


matrici, congruenza di in algebra lineare, relazione di equivalenza tra matrici quadrate dello stesso ordine con elementi di un campo K. Due matrici quadrate A e B appartenenti all’algebra M(n, K) delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti in un campo K si dicono congruenti se esiste una matrice invertibile C tale che A = CBC T, dove C T indica la matrice trasposta di C. La congruenza è una relazione di equivalenza su M(n, K), le cui classi di equivalenza sono dette classi di congruenza. Il rango di una matrice è invariante per congruenza: due matrici congruenti hanno cioè lo stesso rango. Inoltre, se una matrice è congruente a una matrice simmetrica (antisimmetrica), allora è anch’essa simmetrica (rispettivamente antisimmetrica).

Se V = Kn è lo spazio vettoriale su cui M(n, K) agisce in modo naturale, allora due matrici A e B sono congruenti se e solo se esse rappresentano la stessa forma bilineare su V relativamente a due opportune basi B1 e B2 di V: la matrice C che lega A e B coincide allora con la matrice del cambiamento di base che lega B1 e B2. Pertanto, si può pensare a una classe di congruenza di matrici come a una forma bilineare su V. Secondo tale equivalenza, a classi di congruenza di matrici simmetriche corrispondono forme bilineari simmetriche, mentre a classi di congruenza di matrici antisimmetriche corrispondono forme bilineari antisimmetriche.

Nel caso in cui K è il campo R dei numeri reali o il campo C dei numeri complessi, è allora possibile classificare le classi di congruenza delle matrici simmetriche attraverso le nozioni di rango e → segnatura:

• se K = R, allora due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango e la stessa segnatura (→ Sylvester, teorema di);

• se K = C, allora due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango.

Ciò implica in particolare che, nel caso reale e nel caso complesso, una matrice simmetrica è sempre congruente a una matrice diagonale. Ciò significa che una forma bilineare simmetrica ammette sempre una base (che è detta ortogonale rispetto a essa) relativamente alla quale è espressa da una matrice diagonale.

Vedi anche
matrice emisimmetrica In matematica, matrice (➔) quadrata che coincide con l’opposta della sua trasposta; in simboli: M = − MT. Ciò vuol dire che, se aik è il gene­rico elemento della matrice, risulta aik = − aki. equivalenza Uguaglianza in genere tra cose di natura o qualità diversa. Fisica Principi di equivalenza Principi che postulano l’uguaglianza di effetti prodotti da cause apparentemente diverse (per es., nell’elettromagnetismo il principio di equivalenza tra un magnete e un circuito percorso da corrente) o la trasformabilità ... campo Biologia C. morfogenetico Area dell’embrione, o del primordio di un germoglio, dotata della capacità di dare origine a un determinato organo; per es., i c. morfogenetici dell’arto posteriore danno origine ad arti posteriori, quelli branchiali a branchie ecc. La realizzazione delle capacità di cui è dotato ... matrice Anatomia Ammasso di cellule epiteliali alla cui attività si deve la formazione di un tessuto. M. dell’unghia L’ammasso di cellule dello strato onicogeno che si osserva in corrispondenza della radice dell’unghia e della lunula, e alla cui opacità è dovuto il colorito biancastro di quest’ultima. M. del ...
Tag
  • MATRICE DEL CAMBIAMENTO DI BASE
  • RELAZIONE DI EQUIVALENZA
  • MATRICI ANTISIMMETRICHE
  • RANGO DI UNA MATRICE
  • MATRICE INVERTIBILE
Vocabolario
congrüènza
congruenza congrüènza s. f. [dal lat. congruentia, der. di congruens -entis: v. congruente]. – 1. Convenienza, corrispondenza, proporzione fra due cose: non c’è molta c. tra quello che dice e quello che fa. 2. Con accezioni partic. in matematica:...
matrice
matrice s. f. [dal lat. matrix -icis «madre; utero»]. – 1. a. Sinon. non com. di madre, soltanto nell’espressione merid. chiesa m., o assol. matrice, lo stesso che chiesa madre (v. madre). b. Sinon. letter. di utero, di uso com. nel linguaggio...
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