Shimura-Taniyama, congettura di
Shimura-Taniyama, congettura di
Shimura-Taniyama, congettura di postula l’esistenza di una relazione tra due diversi tipi di spazi di orbite: il primo spazio è ottenuto dalle curve ellittiche intese come tori complessi, il secondo dall’identificazione dei punti del semipiano superiore relativamente all’azione di certe trasformazioni lineari frazionarie; questa costruzione dà luogo a una famiglia di curve algebriche dette curve modulari. La congettura afferma che ogni curva ellittica a coefficienti razionali è immagine di un’opportuna curva modulare.
Per la costruzione del primo spazio si considerano due qualunque numeri complessi non nulli h e k tali che il loro rapporto non sia un numero reale. Si definisce poi una “rete” R come un sottoinsieme dell’insieme C i cui elementi sono della forma ah + bk, dove a e b sono numeri interi. Fissata la rete R, l’orbita di un numero complesso z rispetto a R è definita come l’insieme z + R = {z + ah + bk : a, b ∈ Z}. L’insieme di tutte le orbite è indicato con C/R (spazio delle orbite) e può essere geometricamente interpretato come toro complesso (→ identificazione), intuitivamente pensabile come una “ciambella” con un buco. Data una qualunque curva ellittica si dimostra che i suoi punti a coordinate complesse si individuano come punti del toro complesso C/R.
Per la costruzione del secondo spazio si considera il semipiano superiore del piano di Argand-Gauss; esso è definito come insieme H dei punti z = a + ib tali che b > 0. Si definiscono poi due trasformazioni:
Applicando successivamente in sequenze arbitrarie le trasformazioni S e T si ottengono trasformazioni del tipo γ: z → (az + b)/(cz + d), dove a, b, c, d sono interi tali che ad − bc = 1. L’insieme di queste trasformazioni costituisce un gruppo, indicato con Γ0(1). Lo spazio delle orbite è l’insieme quoziente H /Γ0(1), ottenuto identificando tra loro i punti di H corrispondenti a un dato punto attraverso l’applicazione delle trasformazioni γ.
Dato un intero n ≥ 1 si indica poi con Γ0(n) l’insieme delle trasformazioni γ il cui coefficiente c è divisibile per n e si indica con H /Γ0(n) lo spazio delle orbite. In questo modo si ottiene una superficie (nel senso della geometria reale) che può essere compattificata con l’aggiunta di un numero finito di punti detti cuspidi; tale superficie si indica con X0(n) e può essere identificata con l’insieme dei punti complessi di una curva detta curva modulare di livello n. La superficie X0(n) è una “ciambella” con g buchi, dove g è il genere della curva modulare di livello n: la curva ellittica ha genere 1 perché si identifica con il toro complesso.
La congettura di Shimura-Taniyama, dimostrata successivamente da A.J. Wiles e R. Taylor, afferma che se E è una curva ellittica definita sui razionali e C/R è il toro complesso che s’identifica con i punti a coordinate complesse di E, allora esiste una funzione olomorfa non costante da X0(n) a C/R per una scelta opportuna dell’intero positivo n. La dimostrazione di tale congettura è risultata rilevante per la dimostrazione dell’ultimo teorema di → Fermat. Nella sua forma cosiddetta ridotta la congettura è così espressa: ogni curva ellittica semistabile è modulare.