cocatene, complesso di

cocatene, complesso di

cocatene, complesso di concetto algebrico alla base della definizione dei gruppi di → coomologia. Un complesso di cocatene è espresso solitamente con la seguente notazione

cioè come una sequenza di gruppi abeliani

connessi da una sequenza di morfismi di gruppi …, ∂⁻², ∂⁻¹, ∂⁰, ∂¹, ∂², … tali che ∂ⁿ: Cⁿ → Cⁿ⁺¹ ha Cⁿ e Cⁿ⁺¹ rispettivamente come dominio e codominio e la composizione ∂ⁿ ∘ ∂ⁿ⁻¹ è il morfismo nullo da C ⁿ⁻¹ a C ⁿ⁺¹. Gli elementi del gruppo Cⁿ prendono il nome di cocatene di dimensione n. Ciascun morfismo ∂ⁿ prende il nome di morfismo cobordo.

La nozione di complesso di cocatene è equivalente a quella di complesso di catene (→ catena) e si usa quando si vuole sottolineare che i morfismi aumentano la dimensione invece di diminuirla (per esempio, se le cocatene sono generate da oggetti geometrici e la dimensione corrisponde alla dimensione geometrica).