compatto
compatto
compatto insieme E di uno spazio topologico X di Hausdorff tale che da ogni suo ricoprimento aperto F = {Aα } si può estrarre un sottoricoprimento Fn finito, cioè un insieme finito {A1, A2, ..., An} di aperti tali che
Un insieme compatto è sempre chiuso e limitato; il viceversa è vero se X ha dimensione finita (→ Heine-Pincherle-Borel, teorema di). Un insieme E si dice relativamente compatto o precompatto se la sua chiusura è un insieme compatto. Un operatore tra due spazi di Banach si dice operatore compatto se trasforma ogni insieme limitato in un insieme relativamente compatto. Uno spazio X si dice localmente compatto se ogni punto di X ammette un intorno relativamente compatto. Uno spazio localmente compatto può essere completato con l’aggiunta di un elemento, detto punto all’infinito, in modo che lo spazio ottenuto sia compatto (→ compattificazione). Uno spazio vettoriale normato è localmente compatto se e solo se è di dimensione finita. In uno spazio compatto ogni sottoinsieme infinito ha almeno un punto di accumulazione (→ Bolzano-Weierstrass, teorema di). Uno spazio si dice paracompatto se ogni ricoprimento aperto possiede un sottoricoprimento aperto localmente compatto. Un insieme A è compatto per successioni se ogni successione di punti di A ammette una sottosuccessione convergente a un punto di A; ogni insieme compatto per successioni è compatto; il viceversa sussiste solo se lo spazio soddisfa al primo assioma di numerabilità (per esempio in spazi metrici).