ordinamento, compatibilita con un'operazione di un

ordinamento, compatibilita con un'operazione di un

ordinamento, compatibilità con un’operazione di un proprietà di un ordinamento di un insieme X relativamente a un’operazione definita in X. Un ordinamento ≤ è detto compatibile con l’addizione + definita in un gruppo G (e quindi con la sua struttura) se è soddisfatta la seguente condizione, per ogni coppia di elementi x, y di G:

a) se x ≤ y, allora, ∀z ∈ G, x + z ≤ y + z

(compatibilità con l’addizione).

Un gruppo G dotato di un ordinamento compatibile è detto un gruppo ordinato. Per esempio, l’insieme dei numeri interi Z, come gruppo additivo, è un gruppo ordinato rispetto all’usuale ordinamento. Se A è un anello (con operazioni + e ⋅) e se ≤ è un ordinamento su di esso, allora ≤ è compatibile con la struttura di anello di A se ≤ è compatibile con il gruppo additivo (A, +) e in aggiunta è verificata la seguente condizione, per ogni coppia di elementi x, y di A:

b) se 0 ≤ x e 0 ≤ y allora 0 ≤ xy

(compatibilità con la moltiplicazione).

Un anello A dotato di un ordinamento compatibile è detto un anello ordinato. Per esempio, l’anello Z e i campi Q e R sono tutti anelli ordinati rispetto agli usuali ordinamenti; il campo C dei numeri complessi invece non è ordinato, nel senso che non esiste alcuna relazione d’ordine totale su di esso che sia compatibile con la sua struttura di anello.