coerenza

coerenza

coerenza in logica, termine (sinonimo di non contraddittorietà e di consistenza), che indica la proprietà di un sistema assiomatico in cui non è possibile derivare contraddizioni: un sistema S è coerente se non esiste una formula ben formata α tale che sia α sia la sua negazione siano dimostrabili in S. Ne consegue che nel sistema S non deve essere possibile dimostrare tutte le formule ben formate che possono essere costruite in esso, altrimenti sia una formula che la sua negazione sarebbero dimostrabili. Un sistema di assiomi S si dice contraddittorio se in esso sono dimostrabili sia la formula ben formata α sia la sua negazione. È possibile dimostrare che, se un sistema non è coerente, allora si può dedurre qualsiasi asserzione nell’ambito di quel sistema; viceversa, un sistema in cui qualsiasi asserzione è dimostrabile risulta un sistema non coerente.

Il calcolo degli enunciati e il calcolo dei predicati (formalizzato come teoria del primo ordine) sono teorie coerenti: ciò deriva dalla completezza semantica di questi due sistemi assiomatici; un esempio di teoria non coerente è la teoria degli insiemi nella formulazione di Cantor. Secondo la teoria di Cantor, uno dei modi per costruire insiemi è quello di riunire tutti gli oggetti che soddisfano una data proprietà; si può considerare, in questo modo, l’insieme di tutti i numeri primi, l’insieme di tutti i triangoli rettangoli ecc. Questa tecnica di costruzione di insiemi viene detta principio di comprensione ed è alla base di una contraddizione nella teoria degli insiemi: l’antinomia di → Russell. Questa contraddizione viene superata nelle teorie assiomatiche degli insiemi, come per esempio in quella formalizzata dagli assiomi di Zermelo-Fraenkel.

La coerenza di un sistema di assiomi è correlata all’esistenza di un modello, ovvero un insieme di oggetti che soddisfino gli assiomi della teoria; una teoria è coerente se e solo se è soddisfacibile, cioè ammette un modello. Il secondo teorema di Gödel asserisce che, se una teoria è coerente, la sua coerenza non è dimostrabile nell’ambito della teoria stessa; questo risultato è di centrale importanza nella cosiddetta crisi dei fondamenti della matematica perché ha storicamente cancellato la possibilità di basare la validità di tutta la matematica sulla coerenza dell’aritmetica formalizzata, giacché la coerenza non è dimostrabile con i soli mezzi dell’aritmetica stessa.

Si dice che un sistema di assiomi S è coerente massimale se, aggiungendo agli assiomi di S un’altra formula ben formata α, si ottiene un insieme di formule non coerente, ovvero l’insieme S ∪ {α} è contraddittorio. Il teorema di Lindenbaum-Tarski stabilisce che un insieme coerente di formule chiuse del linguaggio dei predicati è sempre contenuto in un insieme di formule chiuse che sia coerente massimale. Una teoria S, scritta nel linguaggio dell’aritmetica formalizzata dagli assiomi di Peano come teoria del primo ordine, è detta omega-coerente (ω-coerente) qualora, data una formula a di S contenente una variabile x, indicata con a(x), si abbia la seguente implicazione: se la formula a è dimostrabile per ogni numero naturale n, allora non è possibile dimostrare che esiste una variabile x per cui la formula non è valida. In simboli:

È possibile dimostrare che se una teoria è ω-coerente, allora essa è anche coerente, tuttavia non vale il viceversa.