CICLOIDE

CICLOIDE (fr. cycloïde; sp. cicloide; ted. Zykloide; ingl. cycloid)

Curva piana, che si definisce nel modo seguente: s'immagini nel piano un cerchio, il quale rotoli, senza strisciare, su di una retta fissa. Si dice cicloide la curva descritta, in codesto moto, da un qualsiasi punto P rigidamente collegato al cerchio; e, più precisamente, la cicloide si dice ordinaria o accorciata (fr. raccourcie; sp. acortada; ted. verkürzte o geschweifte; ingl. prolate) o allungata (fr. allongé; sp. alargada; ted. verlängerte o verschlungene; ingl. curtate) secondo che il punto P giace sulla circonferenza del cerchio rotolante o è interno o è esterno (fig.1). Dalla definizione stessa risulta che la curva è periodica, cioè costituita da infiniti archi uguali fra loro, corrispondenti ciascuno a un giro completo del cerchio; è quindi trascendente.

Si consideri il moto del cerchio a partire da una posizione tale che il raggio che va al punto di contatto con la retta fissa abbia il punto P al suo estremo o al suo interno o sul suo prolungamento, secondo la specie della cicloide; e si prendano come asse delle x la retta fissa (orientata nel verso del moto), come asse delle y la perpendicolare nel punto di contatto iniziale, or ora indicato (orientata verso il cerchio). Se si denotano con r e h il raggio del cerchio generatore e la distanza di P dal suo centro, con ϕ l'angolo di cui, in una generica posizione, risulta rotato (in verso orario) il raggio, che inizialmente andava al punto di contatto, le equazioni parametriche della cicloide sono date da

L'equazione cartesiana, quale si ottiene eliminando fra le (1) la ϕ, è data da

Un arco completo di cicloide (corrispondente a un intero giro del cerchio) si ottiene dalle (1) facendo variare ϕ da 0 a 2 π. Agli estremi di ciascun arco completo, cioè nei punti di ascissa 2 k π, dove k denota un qualsiasi numero intero, positivo o negativo, la cicloide ordinaria ha altrettante cuspidi, quella allungata altrettanti nodi; l'una e l'altra sono prive di flessi. Invece la cicloide accorciata non ha punti multipli, ma presenta infiniti flessi nei punti di ascissa (2 k +1) π/2.

La rettificazione d'un arco di cicloide qualsiasi è riducibile a quella d'un arco di ellisse (teorema di B. Pascal) e quindi dipende in generale da funzioni ellittiche; ma nel caso della cicloide ordinaria la lunghezza di un arco completo si determina con l'uso di sole funzioni goniometriche e si trova che esso è uguale a 8 r, cioè al quadruplo del diametro del cerchio generatore (teorema del Wren).

L'area descritta dall'ordinata della cicloide, quando ϕ varia da o a 2 π, è data, come si riconosce con una integrazione pressoché immediata, da π(2 r² + h²); cosicché per h = r si ha che l'area della superficie compresa fra un arco completo di cicloide ordinaria e la retta fissa è tripla di quella del cerchio (teorema del Roberval, intuito da Galileo, in base alla pesatura di lamine aventi la forma delle due superficie).

La cicloide ordinaria è curva brachistocrona e tautocrona.

La definizione della cicloide fornisce un esempio tipico di generazione di una linea come traiettoria di un punto rigidamente collegato a una curva piana rigida (rulletta o trocoide), che rotoli nel suo piano, senza strisciare, su di un'altra (base). Notevole è il caso (curva di Delaunay) della curva descritta da un fuoco di un'ellisse che ruzzola sopra una retta fissa. Su questo argomento importante anche per applicazioni meccaniche, v. cinematica. Qui intanto accenneremo ad altri due tipi di curve definibili in tal modo e che costituiscono generalizzazioni immediate delle cicloidi.

Epicicloidi e ipocicloidi piane. - Quando un cerchio rotola, nel suo piano, senza strisciare, sopra un cerchio fisso, un punto qualsiasi ad esso invariabilmente legato descrive una linea detta epicicloide o ipocicloide, secondo che il contatto è interno o esterno, e precisamente ordinaria, accorciata o allungata secondo che il punto generatore appartiene alla periferia del cerchio mobile o è a questo interno o esterno. Però la distinzione fra epicicloidi e ipocicloidi è in generale soltanto formale, perché Eulero ha dimostrato che ogni curva della detta specie, allungata o accorciata, definita come epicicloide, si può generare anche come ipocicloide, e viceversa.

Se r è il raggio del cerchio mobile, R quello del cerchio fisso e h la distanza del punto generatore dal centro del cerchio mobile, la curva è suscettibile della seguente rappresentazione parametrica:

ove i segni superiori valgono per le epicicloidi e gl'inferiori per le ipocicloidi. Si ottengono curve algebriche sempre e solo quando il rapporto R/r è razionale.

Un esempio è offerto dall'ipocicloide (ordinaria) tricuspide (fig. 2), la quale si ottiene per R/r = 3 ed è una curva algebrica di 4° ordine e 3ª classe; anzi, come osservò il Cremona, si può caratterizzare, fra le quartiche piane di 3ª classe, come quella che tocca la retta impropria nei due punti ciclici. Un'altra notevole definizione della ipocicloide tricuspide risulta dalle considerazioni seguenti. Se da un punto qualsiasi P della circonferenza circoscritta a un arbitrario triangolo si abbassano le perpendicolari sui tre lati, i piedi di queste risultano allineati e la loro congiungente si chiama retta del Wallace del punto P rispetto al triangolo. Lo Steiner studiò per primo l'inviluppo delle rette del Wallace, corrispondenti agl'infiniti punti della circonferenza; e lo Schläfli riconobbe che si tratta precisamente di una ipocicloide tricuspide.

Se nella definizione delle epicicloidi ed ipocicloidi si fa tendere all'infinito il raggio R del cerchio fisso, talché questo cerchio tenda ad una retta, si ottengono, come casi limiti delle epicicloidi e ipocicloidi, le cicloidi. Quando invece si fa tendere all'infinito il raggio del cerchio mobile. si ottiene l'evolvente del cerchio, la cui equazione in coordinate polari ρ e ϑ è data da

La definizione delle epicicloidi ed ipocicloidi conserva ancora un senso e conduce a linee reali, quando si attribuiscano ai raggi dei due cerchi mobili speciali valori complessi; le curve risultanti portano il nome di pseudocicloidi o pseudotrocoidi.

Epicicloidi e ipocicloidi sferiche. - Sopra una sfera, quando un circolo (in generale minore) ruzzola, senza strisciare, sopra un circolo fisso, un punto della sfera, invariabilmente connesso al primo cerchio, descrive una curva detta epicicloide o ipocicloide sferica secondo che il contatto è esterno o interno; e gli epiteti ordinaria, accorciata e allungata vengono applicati con lo stesso criterio usato nel caso delle cicloidi. Se il cerchio fisso è massimo, la curva si dice cicloide sferica.

Bibl.: G. Loria, Curve piane speciali, algebriche e trascendenti, T. II (Milano 1930), VI libro, capitoli VIII-X; Curve gobbe speciali, algebriche e trascendenti, T. II (Bologna 1925), cap. X.