ciclo limite

ciclo limite

Sia dx/dt=f(x,t) un sistema di equazioni differenziali ordinarie definito in una regione U⊂Mⁿ, con M varietà differenziabile (per es. ℝⁿ). Sia inoltre x(x₀,t)= =Φ(x₀,t) il flusso da esso definito, ovvero d Φ(x₀,t)/dt=f(Φ(x₀,t),t).

Dato un punto x̃ di un’orbita Γ, si definiscono rispettivamente α-limite e ω-limite di x̃  i punti di accumulazione degli insiemi A={x∈U tali che x=Φ(x̃,t) per qualche t>0} e Ω={x∈U tali che x=Φ(x̃,t) per qualche t〈0}. L’insieme di tutti gli α-limiti dei punti di una traiettoria Γ è detto α-limite di Γ e analogamente per gli ω-limiti.

Un’orbita chiusa nello spazio delle fasi del sistema (ovvero un moto periodico del sistema) si dice ciclo limite se è α-limite o ω-limite di almeno un’altra distinta traiettoria. Un ciclo limite Λ è detto stabile se per ogni suo intorno I_ε è possibile trovare un intorno I_δ tale che ogni orbita che parta da esso non esce da I_ε per t>0, attrattivo se per t→∞ l’orbita stessa si avvicina arbitrariamente a Λ. In caso contrario è detto instabile.

Non è difficile dimostrare che un ciclo limite è a sua volta un’orbita periodica, ma il viceversa in generale non è vero. Una condizione sufficiente si può esprimere in termini degli esponenti di Lyapunov o caratteristici, grandezze, queste, non a caso definite a partire dall’evoluzione della distanza tra due orbite: il loro valore assoluto deve essere minore di 1.

Sia ora Γ una qualunque orbita chiusa e disegniamo un iperpiano in M a essa trasverso che la interseca in un punto y.  Allora ogni traiettoria del sistema che parta a t=0 da un punto x di tale iperpiano sufficientemente vicino a y lo intersecherà di nuovo dopo un certo tempo t>0 in un punto T(x) (naturalmente y=T(y)).

L’applicazione x→T(x) è detta mappa di Poincaré e le sue proprietà determinano le caratteristiche delle traiettorie del sistema nelle vicinanze di Γ. In particolare a un ciclo limite, contrariamente al caso di un’orbita chiusa qualunque, è sempre associata una mappa di Poincaré diversa dall’identità. Nel caso bidimensionale il teorema di Poincaré-Bendixson fornisce una classificazione completa dei cicli limite.

→ Complessità