Chebyshev Pafnutij L'vovic

Chebyshev Pafnutij L'vovic

Chebyshev (o Chebishev o Tchebyschef) 〈chibishòf〉 Pafnutij L'vovic [STF] (Okatovo 1821 - Pietroburgo 1894) Prof. di analisi matematica nell'univ. di Pietroburgo (1847). ◆ Disuguaglianza di Ch.: (a) [ANM] se le successioni di numeri reali a₁,..,an e b₁,...,bn sono entrambe non crescenti o entrambe non decrescenti, si ha: Σk=nk=1ak Σk=nk=1bk≤Σk=nk=1akbk; (b) [PRB] data una qualunque variabile casuale ξ con valore di aspettazione E(ξ)= M e varianza σ2, si ha P(|x-m|≥tσ)≤1/t2; tale disuguaglianza, pur essendo troppo generale per essere di utilità pratica, è fondamentale per la dimostrazione della legge dei grandi numeri (v. probabilità classica: IV 589 b). ◆ [ANM] Equazione di Ch.: l'equazione (1-x2)y''-xy'+n2y=0, con n numero intero, caso particolare dell'equazione ipergeometrica di Gauss; sue soluzioni sono i polinomi di Ch. (v. oltre). ◆ [ELT] Filtro di Ch.: tipo di filtro elettrico, simile al filtro di Butterworth, salvo il fatto che la curva di attenuazione presenta caratteristiche ondulazioni intorno alla frequenza, o alle frequenze, di taglio; tali ondulazioni corrispondono a zeri del polinomio di Ch. che approssima la risposta del filtro; la fig. mostra la curva di attenuazione di un tale filtro, del tipo passa-basso (ft è la frequenza di taglio). ◆ [ANM] Nodi di Ch.: gli zeri dei polinomi di Ch. (v. oltre) Tn(x), dati dalla formula xr=cos[(2r-1)π/(2n)], con r=1, ..., n; sono tutti reali, distinti e interni all'intervallo (-1,1); sono importanti nei problemi di approssimazione di una funzione mediante polinomi, si ha infatti (F. Bernstein, 1912) che se una funzione f(x) ha derivata prima limitata nell'intervallo (-1,1) e se la si approssima mediante una successione di polinomi di gradi 1,2,3,... scelti in modo che abbiano le stesse ordinate della f(x) nei nodi dei polinomi di Ch. T₂(x), T₃(x), T₄(x), ..., allora la successione dei polinomi interpolanti converge uniformemente a f(x). ◆ [ANM] Polinomi di Ch.: sono i polinomi soluzione dell'equazione di Ch. (v. sopra), indicati generalm. con il simbolo Tn(x), con n intero positivo; sono dati dalla formula: Tn(x)=cos(n arccosx); per i primi valori di n si ha: T₁(x)=x, T₂(x)=x2-(1/2), T₃(x)=x3-(3x/4), T₄(x)=x4-x2+(1/8), T₅(x)=x5-(5x3/4)+(5x/16), T₆(x)=x6-(4x4/3)+ (9x2/16)-(1/32). I loro zeri sono detti nodi di Ch. (v. sopra). ◆ [ANM] Sistema di Ch., o di Laplace-Ch.: insieme di n+1 funzioni ϕ₀(x), ϕ₁(x), ..., ϕn(x), della variabile x, linearmente indipendenti e continue nell'intervallo (a,b), tale che se una combinazione lineare di esse, α₀ϕ₀(x)+ ...+ αnϕn(x), si annulla più di n volte nell'intervallo (a,b), allora essa è identicamente nulla, cioè α₀= ...=αn=0; è tale, per es., l'insieme 1, x, ..., xn in ogni intervallo reale. ◆ [PRB] Teorema di Ch.: esprime, generalizzando, la disuguaglianza di Ch. probabilistica (v. sopra).