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Markov, catena di

Enciclopedia della Matematica (2013)
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Markov, catena di


Markov, catena di in probabilità, descrizione dell’evoluzione nel tempo di un sistema caratterizzato da un insieme discreto di stati in cui i cambiamenti di stato avvengono casualmente, secondo valori di probabilità e non in modo deterministico. Un sistema in evoluzione è infatti caratterizzato dagli stati che esso assume nel tempo: se il sistema è di tipo deterministico (noto con esattezza il dato iniziale è possibile determinare i dati successivi), allora è possibile prevedere con certezza il passaggio da uno stato all’altro in dipendenza di uno o più input prefissati, interni o esterni al sistema stesso. Se il passaggio da uno stato all’altro avviene con probabilità minore di uno, cioè diversa dalla certezza, allora il modello è di tipo probabilistico e una catena di Markov è in grado di darne una descrizione evolutiva nel tempo. Se le probabilità di passare da uno stato all’altro in un tempo unitario sono costanti e ogni stato dipende probabilisticamente soltanto dallo stato immediatamente precedente e non dalla complessiva “storia” del sistema, allora la catena di Markov è anche detta omogenea. Se il processo è continuo, anziché di catena si parla più propriamente di processo markoviano. Un esempio di catena di Markov è dato da un sistema che può esistere in un numero finito (o in un’infinità numerabile) di stati Sk e che in ogni istante th passa da uno stato Si a uno stato Sj con probabilità pij indipendente dal particolare istante th considerato; un processo di questo tipo è completamente descritto dalla matrice delle probabilità di transizione e dalla distribuzione di probabilità all’istante considerato, detta matrice di transizione, in cui la somma dei valori di ognuna delle righe è uguale a 1. Per esempio, un sistema a due soli stati A e B può essere descritto dalla seguente matrice 2 × 2:

formula

La descrizione dei passaggi di stato può avvenire anche mediante un grafo, detto grafo di transizione. In riferimento all’esempio precedente, ogni nodo rappresenta uno stato e gli archi di connessione indicano l’evoluzione del sistema da ogni stato a uno dei successivi possibili, con le rispettive probabilità. Le successive potenze di una matrice di transizione indicano le probabilità di passaggi tra stati in 2, 3, ..., n unità di tempo. Si dimostra che, se nella matrice di transizione non compaiono probabilità nulle, allora il limite della sua potenza ennesima, per n tendente all’infinito, è una matrice con tutte le righe uguali, le quali forniscono la probabilità che ha il sistema di trovarsi in ognuno degli stati indipendentemente dalla conoscenza degli stati precedenti.

CATENA DI MARKOV

Tag
  • MATRICE DELLE PROBABILITÀ DI TRANSIZIONE
  • DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ
  • PROCESSO MARKOVIANO
Vocabolario
markoviano
markoviano (o marcoviano; anche marcoffiano) agg. – Relativo al matematico russo A. A. Markov senior (1856-1922): catene m. o processi m., sequenze di eventi aleatorî in cui la probabilità che un particolare evento della catena sia caratterizzato...
caténa
catena caténa s. f. [lat. catēna]. – 1. a. Mezzo di collegamento e di unione fatto di più anelli di ferro o d’altro metallo passati l’uno dentro l’altro, che serve per tener saldamente legate cose, animali, persone, per tener sospesi oggetti...
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