Markov, catena di
Markov, catena di
Particolare tipo di processo stocastico. Prende il nome dal matematico e probabilista russo A.A. Markov (1856-1922). Una catena di M. è un processo aleatorio (➔) che descrive il passaggio di un sistema nel tempo attraverso vari stati, in cui vigono precise regole di transizione. Si ipotizzi in particolare che le variazioni di stato possano avvenire solo a istanti di tempo equintervallati t=1,2,… Si è interessati a probabilità di transizione dallo stato i allo stato j nel tempo fra t e t+1; esse sono in generale condizionate a tutta la storia del processo dall’epoca 0 all’epoca t. Si indicheranno tali probabilità condizionate con la notazione p(Xt+1=xj/X0=x0 e X1=x1 e …Xt=xi). Il processo gode della proprietà di M. se risulta p(Xt+1=xj/X0=x0 e X1=x1 e …Xt=xi)=p(Xt+1=xj/Xt=xi), cioè, se qualunque sia la storia passata il condizionamento si sintetizza nello stato assunto al tempo t. Si dice anche che il sistema non ha memoria o che la concentra tutta nell’ultima informazione. Se vale tale proprietà, si possono indicare le probabilità di transizione con la notazione pij(t); esse dipendono dagli stati coinvolti e dal tempo. Se si ha inoltre indipendenza dal tempo, cioè se pij(t)=pij invariante con t, si dice che il processo è omogeneo rispetto al tempo. Una catena di M. è un processo che gode della proprietà di M. ed è omogeneo rispetto al tempo.