categoria

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categoria in algebra astratta, termine indicante una struttura generale, che può essere considerata come terzo livello di astrazione dopo quello degli elementi di un insieme (qualunque sia la loro natura: elementi numerici, punti di uno spazio, vettori, funzioni ecc.) e quello delle strutture definite su di un insieme (gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali ecc., e tutti gli ambienti in cui si studiano le mutue relazioni o le proprietà delle operazioni definite tra gli elementi di un insieme).

Una categoria C è individuata dall’assegnazione dei seguenti elementi:

• una collezione Ob(C), i cui elementi sono detti gli oggetti di C;

• per ogni coppia di oggetti A, B di C, una collezione di morfismi di C, indicata con Mor_C(A, B): se ƒ è un elemento di Mor_C(A, B), allora si scrive ƒ: A → B;

• per ogni terna di elementi A, B, C di C, un’operazione binaria Mor_C(A, B) × Mor_C(B, C) → Mor_C (A, C), detta legge di composizione tra morfismi, che associa a ogni coppia di morfismi (ƒ, g) un morfismo indicato con il simbolo g ∘ ƒ.

Si richiede inoltre che siano soddisfatti i due seguenti assiomi:

• associatività della legge di composizione: se ƒ: A → B, g: B → C e h: C → D sono tre morfismi di C, allora h ∘ (g ∘ ƒ) = (h ∘ g) ∘ ƒ;

• esistenza dell’identità: per ogni oggetto A di C, esiste un morfismo id_A: A → A, detto morfismo identità di A, tale che id_A ∘ ƒ = ƒ e g ∘ id_A = g, per ogni ƒ: B → A e ogni g: A → C.

A partire da tali assiomi si dimostra che il morfismo identità associato a un oggetto di C è unico. Un morfismo ƒ: A → B è detto un isomorfismo se esiste un morfismo g: B → A tale che g ∘ ƒ = id_A e ƒ ∘ g = id_B. Tale morfismo se esiste è unico ed è detto morfismo inverso di ƒ e indicato con il simbolo ƒ⁻¹.

Sono esempi di categoria: a) la categoria Set degli insiemi, i cui morfismi sono le applicazioni; b) la categoria Grp dei gruppi, con gli omomorfismi; c) la categoria Top degli spazi topologici, con le applicazioni continue; d) la categoria Vet_K degli spazi vettoriali, definiti su uno stesso campo K, con le applicazioni lineari; e) la categoria Alg_K delle algebre, definite su uno stesso campo K, con gli omomorfismi di algebre; ƒ) la categoria Diff delle varietà differenziabili con le applicazioni differenziabili. La teoria delle categorie è stata elaborata intorno al 1945 dai matematici S. Mac Lane, S. Eilenberg e A. Grothendieck. Essa studia in modo astratto le strutture matematiche, cogliendone ed evidenziandone alcuni aspetti assolutamente generali, e le trasformazioni che hanno luogo tra le strutture. Essa individua classi di strutture di uno stesso tipo con i loro peculiari morfismi (le categorie, appunto) e studia le trasformazioni che legano tali classi, conservandone le strutture e i morfismi (i → funtori). La teoria delle categorie conferisce unità concettuale a branche diverse della matematica: algebra, topologia algebrica, geometria differenziale, geometria algebrica, logica matematica.