caos

caos

caos termine con il quale si indica la comparsa di eventi aleatori in fenomeni deterministici, cioè regolati da precise relazioni di causa ed effetto. In fisica e in matematica, si dicono caotici quei → sistemi dinamici nei quali lievi differenze nelle condizioni iniziali danno luogo a evoluzioni temporali molto diverse. Comportamenti caotici si verificano in sistemi non-lineari estremamente sensibili alle condizioni iniziali. Un sistema non-lineare è governato da equazioni che non soddisfano le condizioni di linearità

In questi casi l’evoluzione di un sistema composto non è a priori scomponibile nell’evoluzione dei suoi sottosistemi e a una determinata variazione nelle condizioni iniziali non corrisponde sempre una variazione proporzionale nell’evoluto temporale (raddoppiando le cause, non raddoppiano necessariamente gli effetti). Quando a piccole cause corrispondono grandi effetti − ovvero si ha un’estrema sensibilità alle condizioni iniziali − il sistema si definisce caotico.

Il problema della sensibilità alle condizioni iniziali era già noto a H. Poincaré, ma una teoria formalizzata dei sistemi caotici ha cominciato ad acquistare interesse solo a partire dagli anni Sessanta del Novecento nel campo della meteorologia, grazie soprattutto ai lavori di E.N. Lorenz. Fu proprio la forma dell’attrattore di Lorenz riportato sulla locandina di un convegno a ispirare a un giornalista la definizione di effetto farfalla, che traduce con una felice metafora la sensibilità estrema alle condizioni iniziali in sistemi non-lineari: una farfalla che batte le ali a Tokyo può scatenare un uragano in Florida. Un sistema caotico non è però un sistema puramente casuale: il caos segue infatti leggi deterministiche ed è perciò più corretto parlare dei fenomeni sopra descritti in termini di caos deterministico.

Per affrontare lo studio qualitativo di un sistema dinamico che evolve verso il caos è necessario creare una mappa, ovvero identificare i punti di equilibrio (o stati stazionari) definiti come quei valori della variabile di stato x(t) che rimangono costanti sotto l’azione della legge del moto: x(t + 1) = x(t). Se la condizione iniziale viene presa in corrispondenza di un punto fisso x*, la traiettoria che si ottiene è stazionaria, cioè si ha x(t) = x* per ogni t. Se, anziché partire esattamente da x*, si parte da una condizione iniziale x(0) vicina a x*, si dice allora che x* è un equilibrio instabile (o repulsivo) se la traiettoria si allontana da esso e non vi ritorna più; si definisce invece asintoticamente stabile (o attrattivo) se la traiettoria generata converge a esso. Più due valori di equilibrio sono vicini più il sistema diventa vulnerabile. Oltre una certa soglia, definita valore di biforcazione, si ha la scomparsa dei due equilibri. In generale, si dice che un parametro attraversa un valore di biforcazione quando determina il passaggio fra due situazioni dinamiche qualitativamente diverse, dovuto per esempio alla creazione o scomparsa di punti fissi o altri tipi di attrattori, oppure a cambiamenti di stabilità. La biforcazione che avviene nella mappa per un determinato valore r corrisponde a una perdita di stabilità di x* anche per le iterate, generando così una sequenza di valori di biforcazione {r₁, r₂, ..., r_n, ...} che ha un punto di accumulazione, noto come numero di Feigenbaum e dato da r_∞ = 2,56994... Oltrepassato questo valore compaiono delle traiettorie che non sono periodiche (sono cioè costituite da valori che non coincidono mai con un valore già ottenuto), caratterizzate dal fatto che i punti riempiono densamente uno o più intervalli.

Se dunque non è possibile dare una definizione generale di caos, si può però affermare che si riconosce la presenza del caos in tutti i casi in cui si ottengono traiettorie limitate che soddisfano le seguenti tre condizioni:

1) sensibilità alle condizioni iniziali, nel senso che, partendo da due diverse condizioni iniziali, arbitrariamente vicine fra loro, la distanza fra le rispettive traiettorie cresce esponenzialmente e, dopo un numero finito di iterazioni, diventa dello stesso ordine di grandezza della variabile di stato;

2) transitività (o mixing), nel senso che i punti della traiettoria generata, partendo da una generica condizione iniziale, ricoprono densamente una zona dello spazio delle fasi (→ attrattore);

3) esistenza di infiniti cicli repulsivi, con i punti periodici densi nella regione ricoperta dalle traiettorie caotiche.

Per capire le caratteristiche geometriche o topologiche del caos deterministico, si deve tenere presente che il suo insorgere è legato a trasformazioni che provocano stiramenti e ripiegamenti. Spesso viene usata la metafora dell’azione geometrica che si esercita sull’impasto di farina e acqua quando, con il noto procedimento casalingo, si prepara la sfoglia. Infatti, per le prime due delle precedenti proprietà l’analogia è evidente: iterando tante volte il processo di allungamento (stretching) e ripiegamento (folding), due particelle di impasto, che si trovano vicine in un certo istante, si troveranno lontane dopo un numero finito di iterazioni (proprietà 1); un pizzico di farina inizialmente concentrato in un punto finirà con il trovarsi uniformemente distribuito su tutto l’impasto (proprietà 2). Anche la proprietà 3 ammette un’interpretazione euristica: se le traiettorie di un sistema dinamico sono limitate, ovvero sono costrette a rimanere intrappolate in una regione compatta dello spazio delle fasi e tale regione è densamente ricoperta di punti periodici repulsivi, allora le traiettorie non possono che essere estremamente irregolari, come il moto di una particella che si muove in uno spazio densamente riempito di altre particelle che la respingono.

Un sistema può comportarsi in modo caotico in certi casi e in modo non caotico in altri. Per esempio, da un rubinetto non chiuso le gocce possono cadere in sequenza regolare, oppure, variando leggermente l’apertura del rubinetto, in modo caotico. Lo studio del caos deterministico ha generato o fornito nuova linfa a diverse branche della matematica, oggi utilizzate per studiare la dinamica di sistemi che presentano comportamenti caotici. Fra queste, la geometria dei → frattali, la teoria → kam e diversi metodi numerici. Dalla teoria del caos è nata la teoria delle → catastrofi e, in matematica, la teoria delle → biforcazioni. La teoria del caos è stata applicata, fra l’altro, alle previsioni del tempo, alle turbolenze in fluidodinamica (per esempio, quelle che influenzano un sottomarino o un aereo), allo studio del battito cardiaco e delle onde elettroencefalografiche, alla dinamica delle popolazioni, al campo magnetico terrestre, alla traiettoria degli asteroidi del sistema solare e dei satelliti artificiali, alla borsa e ai titoli finanziari.