Cantor

Cantor

Cantor Georg (San Pietroburgo 1845 - Halle, Sassonia-Anhalt, 1918) matematico e logico tedesco. Nato in Russia da famiglia tedesca, iniziò gli studi universitari presso il Politecnico di Zurigo e seguì dapprima il corso di laurea in ingegneria. Successivamente orientò i suoi interessi verso la matematica e, nel 1856, dopo la morte del padre, si trasferì a Berlino dove seguì le lezioni di K. Weierstrass e si laureò nel 1867. Due anni dopo ottenne la libera docenza a Halle. In questa università divenne professore ordinario nel 1879 e insegnò fino al 1905, anno in cui fu dispensato dall’insegnamento a causa di gravi disturbi nervosi. Finì i suoi giorni in una clinica psichiatrica di Halle. Non certo estranei al suo dramma furono l’incomprensione per le sue teorie, gli attacchi che egli dovette subire a più riprese da parte del mondo accademico e l’ostilità di L. Kronecker, già suo maestro, che tra l’altro ne impedì la chiamata all’università di Berlino. Le sue ricerche furono invece apprezzate da Weierstrass e Dedekind. I primi lavori di Cantor riguardano la teoria dei numeri e le serie trigonometriche. Nel 1872 presentò la sua teoria dei numeri irrazionali intesi come classi di successioni di numeri razionali. Tale teoria, pubblicata contemporaneamente a quella di R. Dedekind (peraltro fondata su basi diverse), costituisce il suo più importante risultato dopo la teoria degli insiemi, base e fondamento di tutta la matematica moderna, di cui va considerato il fondatore. Cantor cominciò a occuparsi di «insiemi di punti» in occasione di ricerche sulle serie geometriche; attraverso concezioni nuove relative agli irrazionali e alla nozione di continuità della retta, pervenne via via alla formulazione della sua teoria degli insiemi. In una successiva memoria, pubblicata nel 1874, Cantor dimostrò l’esistenza di due insiemi infiniti non equipotenti, non aventi cioè la stessa cardinalità, i numeri naturali e i numeri reali, utilizzando per la prima volta il cosiddetto procedimento diagonale per dimostrare che il continuo dei numeri reali è più che numerabile. In seguito si diede a ricercare insiemi di cardinalità ancora maggiore, tentando, in particolare, di dimostrare l’impossibilità di stabilire una corrispondenza biunivoca tra il continuo unidimensionale e quello bidimensionale. Nel 1877 fu costretto ad abbandonare tale ipotesi, avendo infatti scoperto che è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti di un segmento e i punti del quadrato costruito su di esso. Tra il 1879 e il 1884 Cantor pubblicò le sei parti dello scritto Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten (Sulle molteplicità lineari infinite di punti), in cui introdusse i numeri ordinali transfiniti con le loro operazioni aritmetiche, dimostrò l’esistenza di infiniti numeri cardinali transfiniti, confutò l’esistenza degli infinitesimi e criticò i filosofi finitisti, difendendo il concetto di infinito attuale. È appunto nella reintroduzione in matematica di quest’ultima nozione, infirmata dai paradossi già incontrati nel mondo greco e ridimensionata dagli sviluppi dell’analisi infinitesimale nell’Ottocento che sembravano dimostrare la sufficienza dell’infinito potenziale trattato attraverso la nozione di limite, che consiste l’importanza della teoria cantoriana degli insiemi: è infinito un insieme i cui elementi possono essere posti in corrispondenza biunivoca con gli elementi di una sua parte (cioè di un suo sottoinsieme proprio). Esistono poi infiniti di ordine differente, di ordine superiore o inferiore, e il loro numero è detto da Cantor transfinito. Tutto ciò, applicato alla successione dei numeri naturali, consente di superare molti paradossi matematici. Infine Cantor, contestando la riduzione delle procedure matematiche a operazioni psicologiche e attribuendo alle entità della matematica un’esistenza oggettiva di tipo logico, aprì la strada ai tentativi di una completa logicizzazione della matematica a opera di G. Frege e di B. Russell.