campo delle frazioni
campo delle frazioni
Sia D un dominio di integrità (cioè un anello abeliano nel quale a≠0 e b≠0 implica ab≠0, per ogni a,b∈D). Sussiste allora il seguente teorema: ogni dominio di integrità si può immergere in un campo. In altre parole, per ogni dominio di integrità esistono un campo F e un omomorfismo iniettivo: Φ: D→F. La dimostrazione di questo risultato è ottenuta costruendo esplicitamente il campo delle frazioni associato a D. Sia dunque M l’insieme delle coppie ordinate (a,b), con a,b∈D, e definiamo in M una relazione di equivalenza come segue: (a,b)∿(c,d) se e solo se ad=bc. Indichiamo ora con [a,b] la classe di equivalenza della coppia (a,b) e sia F l’insieme di tutte le classi di equivalenza in M: una volta introdotte le operazioni di addizione e moltiplicazione (e opportunamente definiti i concetti di inverso ed elemento neutro rispetto a esse) otteniamo il campo delle frazioni associato a D. Si definisce allora [a,b]+[c,d]=[ad+bc,bd] e [a,b]∙[c,d]=[ac,bd]. Successivamente si osserva che [0,b] agisce come zero e [−a,b] come inverso per l’addizione, mentre [d,d] e [c,d]−1=[d,c] (con c≠0) agiscono rispettivamente come elemento neutro (unità) e inverso per la moltiplicazione. Resta da costruire l’omomorfismo Φ. Osserviamo che, se x≠0 e y≠0 in D, [ax,x]=[ay,y] in quanto (ax)y=x(ay). Indicando la classe di equivalenza [ax,x] con [a,1], definiamo Φ:D→F con la formula Φ(a)=[a,1]. Il più importante esempio di campo delle frazioni è senza dubbio quello dei numeri razionali ℚ. Il dominio di integrità di partenza è l’insieme ℤ degli interi relativi, il simbolo (a,b) è sostituito da a/b e non è difficile verificare che le operazioni sopra introdotte non sono in questo caso altro che le usuali operazioni tra frazioni. Una classe d’equivalenza [a,b] coincide con l’insieme delle frazioni na/nb con n intero (tutte equivalenti ad a/b come si vede dopo una banale ‘semplificazione’), l’omomorfismo iniettivo esprime l’identificazione di un intero a con la frazione a/1. Un’analoga costruzione conduce alla definizione del campo delle funzioni razionali a partire dall’anello dei polinomi su un qualunque campo F.