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variabile, cambiamento di

Enciclopedia della Matematica (2013)
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variabile, cambiamento di


variabile, cambiamento di tecnica di grande generalità che consente di semplificare i problemi rendendoli più facilmente affrontabili da un punto di vista non solo analitico, ma anche numerico. Essa si applica, per esempio: alla ricerca delle primitive di una funzione (→ integrazione per sostituzione); agli → integrali multipli; alle → equazioni differenziali nonché ai → sistemi differenziali. In ogni caso, tale tecnica consiste nel sostituire a una variabile (dipendente o indipendente) un’altra a essa legata da una corrispondenza in genere biunivoca, allo scopo di ottenere una formula più semplice o comunque più agevolmente trattabile analiticamente o numericamente. Un cambiamento di variabile deve essere invertibile, e quindi richiede condizioni che sovente si esprimono mediante l’ipotesi di derivata non nulla (in una variabile) o di determinante jacobiano non nullo (in più variabili). Per esempio, a partire da una funzione ƒ definita su un insieme E, si costruisce una funzione g definita da g(t) = ƒ(u(t)), essendo u una funzione definita in un certo insieme E1 a valori in E e assumendo x = u(t): il cambiamento di variabile consiste nella sostituzione di x con u(t). Così, la funzione

formula

definita per |x| ≤ 1, mediante il cambiamento di variabile x = cos(t), 0 ≤ t ≤ 2π si trasforma nella funzione

formula

In senso più lato, tra i cambiamenti di variabile rientrano le manipolazioni delle equazioni algebriche volte a trovare metodi immediati di soluzione, le equazioni delle trasformazioni geometriche che facilitano la risoluzione di sistemi (si veda, per esempio, → sistema simmetrico), nonché le trasformazioni integrali, in particolare quelle di → Laplace e di → Fourier.

Tag
  • INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
  • DETERMINANTE JACOBIANO
  • SISTEMI DIFFERENZIALI
  • EQUAZIONI ALGEBRICHE
  • INTEGRALI MULTIPLI
Vocabolario
tèmpo
tempo tèmpo s. m. [lat. tĕmpus -pŏris, voce d’incerta origine, che aveva solo il sign. cronologico, mentre quello atmosferico (cfr. al n. 8) era significato da tempestas -atis]. – 1. L’intuizione e la rappresentazione della modalità secondo...
lìnea
lìnea s. f. [dal lat. linea, der. di linum «lino2»; propr. «filo di lino»]. – 1. a. Ente geometrico che si estende nel senso della sola lunghezza, e che può essere matematicamente definito indipendentemente dalla sua materiale esistenza nonché...
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