SIMBOLICO, CALCOLO

SIMBOLICO, CALCOLO

. 1. - Generalità. - A tutti è noto che, dovendo calcolare un'espressione come la seguente:

conviene calcolare invece la seguente:

la quale darà il logaritmo del risultato richiesto (risultato eguale a circa 0,2495); questo perché l'applicazione (v. applicazione, in questa App.) x → log x è un isomorfismo dell'insieme dei numeri reali positivi sull'insieme dei numeri reali relativi, considerandosi nel primo insieme le operazioni di moltiplicazione, divisione, potenza d'esponente α, radice d'indice β≠0, e nel secondo insieme prendendo, come operazioni omologhe di quelle menzionate, rispettivamente l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione per il coefficiente α, la divisione per il divisore β≠0. Dal punto di vista teorico, quindi, il calcolo diretto ed il calcolo logaritmico si equivalgono; dal punto di vista pratico è però da preferire il secondo, per la maggiore semplicità delle operazioni da farsi, e per la disponibilità di tavole logaritmiche, che consentono a semplice lettura il passaggio da x a log x e viceversa, con la precisione desiderata.

Il calcolo logaritmico è un ottimo esempio di calcolo simbolico, il cui principio si può esporre nel modo seguente. Sono assegnati due insiemi A e B, muniti di strutture isomorfe, ed è assegnato un isomorfismo π di A su B. Data una relazione R, unaria, ovvero binaria, ovvero ternaria, ..., appartenente alla struttura di A, nonché la relazione omologa S appartenente alla struttura di B, per vedere se si ha o no R(a₁), ovvero R(a₁, a₂), ovvero R(a₁, a₂, a₃), ..., basterà vedere se si ha o no S(τa₁), ovvero S(τa₁, τa₂), ovvero S(τa₁, τa₂, τa₃), ..., rispettivamente; dato un operatore ϕ, nullario, unario, binario, appartenente alla struttura di A, nonché l'operatore omologo ψ appartenente alla struttura di B (v. operatori, in questa App.), basterà calcolare τ^-1ψ, ovvero τ^-1ψ(τa₁), ovvero τ^-1ψ(τa₁, τa₂), ..., per aver calcolato ψ, ovvero ϕ(a₁), ovvero ϕ(a₁, a₂), ..., rispettivamente [a₁, a₂, a₃, ... ε A]; in altre parole, anziché eseguire direttamente calcoli o verifiche sugli "oggetti" a ε A, si eseguono calcoli e verifiche omologhi sulle rispettive "immagini" τa ε B, e poi se ne interpreta il risultato in A. Da un punto di vista teorico, il calcolo sugli oggetti ed il calcolo (simbolico) sulle immagini sono esattamente equivalenti; da un punto di vista pratico, può esser conveniente il calcolo sulle immagini, se le operazioni e le relazioni della struttura di B sono più "semplici" di quelle omologhe della struttura di A, e se la trasformazione τ e la sua inversa τ^-1 sono agevolmente effettuabili, ad esempio per la disponibilità di apposite tabelle.

2. - La trasformazione di Laplace. - Il concetto generale ora esposto ha un'applicazione concreta nell'uso (al quale di solito si allude quando si parla di calcolo simbolico) della trasformazione di Laplace per l'integrazione delle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, con condizioni accessorie pure lineari.

Sia A l'insieme di tutte le funzioni complesse F(t) della variabile reale t, misurabili e localmente sommabili nell'intervallo (0, + ∞), nulle nell'intervallo (− ∞, o), e tali che, per valori complessi s opportunamente scelti, la funzione e^-stF(t) della variabile reale t risulti integrabile sull'intero intervallo (0, + ∞).

Per ciascuna funzione ("oggetto") F ε A risulta determinata in corrispondenza una funzione ("immagine")

della variabile complessa s, olomorfa in un semipiano (del piano di Gauss) del tipo: "parte reale di s maggiore d'un numero reale x_F, dipendente da F". Chiameremo B l'insieme di tutte quelle funzioni di variabile complessa, che sono immagini di qualche funzione oggetto della classe A. L'operazione ora definita, che fa passare dalla generica funzione oggetto alla corrispondente immagine, si chiama trasformazione di Laplace, e per indicare che f è l'immagine dell'oggetto F vengono usate indifferentemente le notazioni:

I due insiemi A e B possono esser considerati come varietà lineari (v. operatori, in questa App.) sul corpo C dei numeri complessi, e possono anche esser considerati come anelli, definendo il prodotto tra due elementi di B al modo consueto, ed il prodotto tra due elementi F e G di A al modo seguente:

(prodotto di composizione, ingl. convolution, ted. Faltung, russo svërtka). Orbene, l'applicazione F → L(F)(F ε A) è un isomorfismo di A su B, tanto riguardo alla loro struttura di varietà lineare, quanto riguardo alla loro struttura di anello; ossia, per a, b ε C, per F, G ε A, si ha

oggetti diversi avendo sempre immagini diverse (si conviene, al solito, d'identificare tra loro due funzioni che differiscano solo in un insieme di misura nulla). Inoltre, se è F⁽ⁿ⁾(t) ε A, si ha pure F^(k)(t) ε A, per k=0, 1, ..., n−1, e posto f ???−??? F, si ha anche

Per mostrare come ciò possa esser sfruttato in pratica, consideriamo la seguente equazione differenziale, nell'incognita Y, con annesse "condizioni iniziali":

dove a₀, a₁, a₂, y₀, y₁ sono numeri complessi assegnati, G appartiene alla classe A, e ci limitiamo a cercare la soluzione entro la classe A stessa. Allora, ponendo y = L(Y) e g = L(G), per le proprietà sopra accennate l'equazione [1] è equivalente alla

da cui segue

se il secondo membro della [3] appartiene alla classe B, sottoponendolo all'operazione L^-1 otterremo la soluzione cercata della [1]. In pratica questo procedimento è conveniente perché l'equazione [2] è algebrica anziché differenziale, e perché sul mercato esistono estesi elenchi di coppie "oggetto-immagine", che consentono a semplice lettura il passaggio da G(t) a g(s) e poi il passaggio inverso da y(s) a Y(t).

L'equazione [1] è munita di condizioni accessorie di tipo "iniziale" nell'origine 0; il metodo tuttavia è applicabile anche con condizioni iniziali fuori dell'origine, od anche con condizioni ai limiti, potendo sempre riportare il problema ad uno del tipo qui illustrato, mercé i teoremi: se è F ???−??? f, allora è

per a, b reali positivi, per c complesso arbitrario.

La trasformazione di Laplace può anche essere adoperata, ad es., per lo studio di equazioni a derivate parziali (sempre lineari a coefficienti costanti) in due variabili indipendenti; l'immagine della funzione incognita, allora, dovrà essere soluzione di un'equazione differenziale ordinaria; ma si può anche definire una trasformazione doppia" di Laplace, la quale faccia corrispondere all'equazione a derivate parziali (con annesse condizioni al contorno) sulla funzione oggetto, ancora un'equazione algebrica sulla funzione immagine; ecc.

È bene infine osservare che la trasformazione di Laplace (come pure altre trasformazioni, quali quella di Fourier, quella di Mellin, ecc.) ha ormai un interesse matematico che trascende quello della sua applicazione al calcolo simbolico.

3. - Calcolo operatorio di Mikusiński. - Recentemente è stato dato ai metodi del calcolo simbolico un fondamento che prescinde dalla trasformazione di Laplace. Consideriamo l'insieme A di tutte le funzioni complesse della variabile reale t, nulle per t 〈 0, continue per t ≧ 0; nell'insieme A introduciamo (con J. Mikusinski) una struttura di anello commutativo, di caratteristica zero, privo di unità, definendo la somma ed il prodotto al modo seguente:

Consideriamo il corpo commutativo C generato dall'anello A; in esso è immerso, a meno d'isomorfismi, l'ordinario corpo dei numeri complessi, e così pure l'anello L costituito dalle funzioni complesse della variabile reale t, nulle per t 〈 0, localmente sommabili per t ≧ 0, somma e prodotto essendovi definite dalla [4] (con la solita intesa d'identificare tra loro due funzioni quando sono quasi-ovunque eguali); il numero 1 è l'unità, il numero 0 (da identificarsi con la funzione identicamente nulla) è l'elemento nullo del corpo C. Speciale importanza ha l'elemento s del corpo C, reciproco della funzione h(t) di Heaviside (la funzione eguale a zero per t 〈 0, eguale ad uno per t ≧ 0); se a è una funzione della classe A, assolutamente continua nell'intervallo (0, + ∞), ed a′ è la sua derivata (della classe L), allora si ha sa = a′ + a(0); più in generale, se a è una funzione della classe A, dotata nell'intervallo (0, + ∞) di derivata (n-1)-esima assolutamente continua, si ha

In base a questo, ad es., l'equazione [1], supponendo che il termine noto G sia della classe L, e volendo cercare una soluzione appartenente alla classe A, e dotata nell'intervallo (0, + ∞) di derivata prima assolutamente continua, può esser scritta

da cui si ricava

la [3′] fornisce la soluzione richiesta, ove il secondo membro rappresenti effettivamente una funzione della classe A, dotata in (0, + ∞) di derivata prima assolutamente continua.

Confrontando con quanto detto al n. 2, vediamo che il procedimento risolutivo è materialmente identico a quello precedente, anche se giustificato con considerazioni differenti; c'è anzi da osservare, che se è F ???−??? f nel senso dichiarato al n. 2, allora è anche F = f(s) interpretando s non come variabile complessa, bensì come l'elemento del corpo C, reciproco della funzione di Heaviside; ne segue che le tabelle di trasformate di Laplace menzionate al n. 2 possono interpretarsi come liste d'elementi del corpo C, che appartengono alla classe A, od anche, più in generale, alla classe L.

Anche queste liste possono compilarsi senza far uso della trasformazione di Laplace, ma sfruttando invece una struttura di convergenza che si può introdurre nel corpo C, e che per successioni di elementi di A si riduce alla convergenza localmente uniforme. Ad esempio, essendo sh = 1, si avrà

d'altronde si riconosce per induzione che, essendo h(t) = 1 nell'intervallo (0, + ∞), nello stesso intervallo si ha hⁿ(t) = t^n-1/(n−1)!, e si può concludere che 1/(s−1) appartiene alla classe A, e precisamente è eguale alla funzione che è nulla per t 〈 0, ed è eguale a e^t per t ≧ 0. È chiaro che in questo ordine d'idee non si può più parlare in senso proprio di calcolo simbolico, perché non si opera su immagini, ma direttamente sugli oggetti; Mikusiński preferisce difatti parlare di calcolo operatorio.

Bibl.: R. V. Churchill, Modern operational mathematics in engineering, New York 1944; G. Doetsch, Tabellen zur Laplace-Transformation, und Amleitung zum Gebrauch, Berlino-Gottinga 1947; Handbuch der Laplace-Transformation, Basilea-Stoccarda 1950-1956 (in tre volumi); A. Ghizzetti, Calcolo simbolico, Roma 1943; N. W. McLachlan, Modern operational calculus, Londra 1948; Mikusiński, Operational calculus, Varsavia 1959; K. W. Wagner, Operatorrechnung, Lipsia 1950. Importanza storica ha ormai il testo di O. Heaviside, Electromagnetic theory, Londra 1899, nel quale per la prima volta il calcolo simbolico veniva applicato sistematicamente, sia pur senza giustificazione rigorosa. Sulla trasformazione doppia di Laplace si legga: D. Voelker e G. Doetsch, Die Zweidimensionale Laplace-Transformation, Basilea 1950.