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calcolo integrale, teorema fondamentale del

Enciclopedia della Matematica (2013)
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calcolo integrale, teorema fondamentale del


calcolo integrale, teorema fondamentale del lega la nozione di integrale definito a quella di integrale indefinito, riducendone il calcolo analitico in molti casi alla determinazione di una primitiva della funzione integranda. Il teorema, nella sua forma più semplice, stabilisce che se ƒ è una funzione continua, una sua primitiva è data dalla funzione, indicata con F, così definita:

formula

cioè F è derivabile e F ′(x) = ƒ(x) (a è fisso e l’integrale è pensato come funzione dell’estremo x variabile). Questo risultato, noto appunto come teorema fondamentale del calcolo integrale, stabilisce una connessione tra integrale e derivata: nel caso di funzioni continue le operazioni di derivazione e di integrazione si possono considerare l’una l’inversa dell’altra. Il teorema consente così il calcolo immediato dell’integrale definito, e, quindi, la determinazione dell’area al di sotto del grafico di una funzione in un intervallo [a, b] ove essa è definita e limitata, senza operazioni di passaggio al limite della somma delle aree dei corrispondenti rettangoli costruiti a partire dalle suddivisioni di tale intervallo. L’integrale definito si ottiene infatti, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, mediante la formula

formula

essendo F una qualunque primitiva di ƒ. Questa formula è comunemente nota come formula di Newton-Leibniz (alcuni autori riportano i cognomi dei due matematici in ordine alfabetico a sottolineare l’uguale rilevanza del contributo di ciascuno di essi). Formulazioni più deboli del teorema valgono anche nel caso di funzioni integrabili secondo Riemann o secondo Lebesgue, per cui il teorema si estende, nella forma sopra descritta, ai soli punti in cui ƒ(x) è continua o prolungabile con continuità. Il teorema è anche noto come teorema di Torricelli-Barrow.

Vedi anche
limite Livello massimo, al di sopra o al di sotto del quale si verifica un fenomeno. Fisica Angolo limite In ottica, nel passaggio di un raggio da un mezzo a un altro con indice di rifrazione assoluto inferiore (per es., per la luce visibile, dall’acqua all’aria) l’angolo di incidenza sulla superficie di separazione, ... derivata tab.Concetto fondamentale nell’analisi matematica e nelle sue applicazioni che esprime, date due grandezze l’una funzione dell’altra (per es., in fisica, lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo, o anche, in economia, il prodotto ottenuto al variare della quantità di fattori di produzione ... integrale In matematica, operazione eseguita su una funzione di variabile reale o complessa per determinare l’area delimitata dalla funzione stessa e dall’intervallo su cui è definita. Il termine s’incontra per la prima volta in uno scritto di G. Bernoulli (1690); le denominazioni di i. definito e i. indefinito ... anàlisi infinitesimale (o càlcolo) Parte della matematica (detta anche semplicemente analisi matematica) i cui metodi e sviluppi sono fondati sull'operazione di passaggio al limite. Suoi iniziatori sono considerati nel 17° sec. I. Newton e G.W. Leibniz, tuttavia ha avuto il suo sviluppo solo in seguito alla definizione rigorosa ...
Tag
  • TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE
  • GRAFICO DI UNA FUNZIONE
  • INTEGRALE INDEFINITO
  • PASSAGGIO AL LIMITE
  • INTEGRALE DEFINITO
Vocabolario
teorèma
teorema teorèma s. m. [dal lat. tardo theorēma, gr. ϑεώρημα (propr. «ricerca, meditazione», der. di ϑεω-ρέω «esaminare, osservare»)] (pl. -i). – 1. Nella cultura classica e medievale, la «visione» sensibile o intellettiva e il relativo...
integrale
integrale agg. e s. m. [dal lat. tardo integralis, der. di intĕger «integro, intero»]. – 1. agg., non com. Di elemento che fa parte di un tutto, che concorre alla costituzione di un intero (sinon. quindi di integrante): i corpi i. del mondo...
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