NUMERICI, CALCOLI

NUMERICI, CALCOLI

. Il calcolo algebrico e il calcolo infinitesimale si propongono di stabilire le condizioni per l'esistenza e per la determinazione e le formule per una rappresentazione delle soluzioni dei diversi problemi dello scibile, che possono conseguire, in un appropriato schema, una certa formulazione matematica; il calcolo numerico, ha lo scopo di pervenire alla finale valutazione numerica delle soluzioni, senza la quale, com'è ovvio, esse soluzioni, anche se bene individuate e qualitativamente caratterizzate, non si possono dire note e non possono pertanto essere realizzate dal tecnico o servire di base per la sperimentazione delle leggi naturali quantitative, la cui indagine ha dato appunto luogo a quei problemi.

Il matematico perviene, in generale, all'esistenza, all'individuazione e a una rappresentazione delle soluzioni dei detti problemi, senza preoccuparsi della possibilità o meno della valutazione numerica di esse, alla quale riserva, giustamente, ricerche d'un secondo tempo. Tali ricerche, il più spesso, richiedono ulteriori indagini puramente matematiche, anche di natura elevatissima, aventi lo scopo di conseguire rappresentazioni delle soluzioni, diverse dalle già date, che abbiano il nuovo requisito di prestarsi a fornire praticabili metodi di calcolo numerico. L'indirizzo di tali indagini è poi intimamente collegato con i disponibili strumenti grafici, meccanici, fisici, che sono in continuo progressivo perfezionamento, in precisione e in potenza, escogitati per l'esecuzione delle varie operazioni elementari di calcolo. Per le dette indagini si appalesano dunque come necessarî appositi istituti che possano essere corredati dei più nuovi e più perfezionati e più potenti strumenti di calcolo numerico e forniti di personale specializzato nell'uso rapido e sicuro di tali strumenti, e, ove occorra, anche nella loro costruzione.

Sotto il regime fascista è sorto in Italia, col Consiglio nazionale delle ricerche, un istituto avente il nome di Istituto per le applicazioni del calcolo, adibito appunto alle dette indagini.

Le difficoltà che presenta il razionale calcolo numerico sono, a considerare come i più elementari, e si potrà convincersi di ciò considerando, p. es., l'importante, per quanto elementare, problema della risoluzione numerica dei sistemi di più equazioni lineari, in più incognite.

Sono assegnate le p2 + p quantità reali

delle quali si conoscono le approssimate decimali:

tali che si abbia:

Si richiedono le approssimate decimali delle quantità x₁, x₂, ..., x_p, verificanti le p equazioni lineari

Tale è la formulazione numerica del sopraddetto problema della risoluzione dei sistemi di equazioni lineari. Alla domanda se le indicate quantità x₁, x₂,..., x_P esistano e siano determinate, risponde l'algebra assegnando, come condizione necessaria e sufficiente, che il determinante

riesca diverso da zero (v. determinanti). Se, come vogliamo supporre e come accade spesso nelle applicazioni, il numero p è grande, presenterà già gravi difficoltà il verificare, mediante calcolo numerico, se tale condizione sia o pur no soddisfatta. Delle quantità a_hk non si hanno, invero, che le approssimate decimali a_hk⁽ⁿ⁾ e, posto D_n = ∣a_hk⁽ⁿ⁾∣, si ha per n → ∞, lim D_n = D. Ora si pensi alle enormi difficoltà del calcolo numerico di D_n (che è una somma di 1•2•3 ... p termini del tipo a_1k1 ⁽ⁿ⁾•a_2k2⁽ⁿ⁾ ... a_pkp⁽ⁿ⁾). Per esso non si potranno avere, in generale, che delle approssimate, per le quali non sarà neppure facile stabilire il grado d'approssimazione, e sarà agevole dopo ciò convincersi come, quando D sia nullo o sia molto piccolo, debba riuscire di grande difficoltà stabilire, mediante il calcolo numerico, la diversità o meno da zero del determinante D. Tale circostanza deve essere, dunque, in generale, accertata con una preventiva analisi puramente matematica della questione che ha dato luogo alle equazioni (1). Stabilito che D è diverso da zero, non si può pensare, dopo quanto si è detto per il calcolo di D, che le formule risolutive di Cramer, date dall'algebra per il sistema di equazioni (1), possano, quando p è grande, essere applicate in generale per il calcolo numerico delle quantità incognite x_h. Dette formule devono dunque, in generale, essere considerate come pure rappresentazioni delle x_h, atte a ricordare, avendo esse il determinante D a denominatore, la sopraddetta condizione d'esistenza e di determinazione delle x_k verificando le (1). E per il calcolo di queste si devono seguire metodi, la cui teoria non può dirsi appartenente sempre all'algebra. Sono esposti qui i più notevoli di tali metodi.

Si osservi che le quantità x_k, verificanti le (1), dànno il minimo valore (nullo) alla seguente funzione di secondo grado:

la quale, posto

si scrive

e si ha pertanto che il sistema di equazioni (1) è perfettamente equivalente al seguente (v. massimi e minimi)

che si dice ottenuto dal sistema (1) dandogli la forma normale di Gauss. Si osservi che il determinante ∥c_hk∥ íl riesce simmetrico, e che è facile, disponendo di opportune macchine calcolatrici, organizzare il calcolo numerico in modo da ottenere, dalle approssimate a_hk⁽ⁿ⁾, b_h⁽ⁿ⁾ delle a_hk e b_h, le approssimate c_hk⁽ⁿ⁾, d_h⁽ⁿ⁾, b⁽ⁿ⁾ delle c_hk, d_h, b. Si osservi anche che risulterà c_hh > o. Scelte arbitrariamente le quantità x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾,..., x_p⁽⁰⁾, se esse non verificano già il sistema (2), calcoleremo, successivamente, per ricorrenza, le quantità x₁⁽¹⁾,i x₂⁽²⁾,..., x_p⁽¹⁾, risolvendo, l'una dopo l'altra, le seguenti equazioni, la prima nell'incognita x₁⁽¹⁾, la seconda nell'incognita x₂⁽¹⁾, ..., la p^mα nell'incognita x_p⁽¹⁾:

dalle x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾, ..., x_p⁽¹⁾ dedurremo successivamente, al medesimo modo, le x₁⁽²⁾, x₂⁽²⁾, ..., x_p⁽²⁾, a mezzo delle equazioni:

e così via indefinitamente. Si ottengono così, successivamente, le ppie di numeri

Ebbene, si può dimostrare - nel modo più semplice con considerazioni infinitesimali - che, al divergere di ν, ciascuna x_k^(ν) (k 1, 2,..., p), converge verso un limite determinato e finito x_p, e che la p^pla di numeri x_1, x₂,..., x_p, costituita da tali limiti, è la soluzione del sistema (2) e quindi del sistema (1). Detta y_k^(ν) un'approssimata decimale di x_k^(ν) a meno di 10^{- n - 1}, si ha:

possiamo asserire che: comunque si assegni il numero intero e positivo n, le approssimate y₁^(ν), y₂^(ν), ..., y_p^(ν) delle x₁^(ν), x₂^(ν), ..., x_p^(ν), a meno di 10^{- n - 1}, forniscono, per valori di ν abbastanza grandi, le approssimate delle incognite x₁, x₂,..., x_p, a meno di 10^-n.

Con ciò il calcolo numerico delle soluzioni x₁, x₂, ..., x_p, delle (1) e (2) si può dunque ritenere conseguito. Tale metodo di risoluzione numerica dei sistemi di equazioni lineari è dovuto all'astronomo Seidel.

Posto p = r + s, con r e s interi e positivi, si pub anche procedere alla risoluzione numerica del sistema (2), facendola dipendere da quella successiva di due sistemi degli ordini più bassi r e s, al modo seguente, ideato presso l'Istituto per le applicazioni del calcolo del Consiglio nazionale delle ricerche itahano. Si comincia dal risolvere i due sistemi degli ordini r e s:

indi i due, sempre degli ordini r e s:

e successivamente gli altri due:

e così via indefinitamente. Si dimostra - nel modo più semplice ricorrendo alla teoria delle funzioni analitiche di variabile complessa - che le serie

convergono verso le x_k (k = 1, 2, ..., p), soluzioni del sistema (1).

Altro metodo di risoluzione del sistema (1) è quello detto di iterazione, ma si può dimostrare che con tale metodo si consegue sempre lo scopo, soltanto nella particolare ipotesi che, per ogni indice h, riesca:

In tale ipotesi risulta a_hh ≠ e si può quindi dare al sistema (1) la seguente forma:

con

Partendo allora da un arbitrario punto (x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, ...., x_p⁽⁰⁾), si dimostra immediatamente che, posto, successivamente,

e così via indefinititamente, le successioni x_k⁽⁰⁾, x_k⁽¹⁾, x_k⁽²⁾, ..., convergono verso le soluzioni x_k del sistema (1).

La possibilità pratica della risoluzione numerica, con buona approssimazione, dei sistemi di equazioni lineari, senza limitazione del numero delle equazioni e delle incognite, ha capitale importanza, in tutto il calcolo numerico, in problemi della più diversa natura, assolutamente fondamentali per il progresso della scienza e della tecnica. Si può affermare che il successo delle applicazioni numeriche della matematica è in buona parte collegato alla praticità dei metodi di risoluzione numerica dei sistemi di equazioni lineari. Da questa si può, infatti, far dipendere la risoluzione numerica dei sistemi di equazioni non lineari, l'integrazione numerica delle equazioni differenziali ordinarie o alle derivate parziali o integrali. Il calcolo numerico dei valori estremi dei funzionali dei tipi più diversi (calcolo delle variazioni numerico), quello dei cosiddetti autovalori nelle equazioni differenziali ordinarie o alle derivate parziali o integrali, ecc. E si pensi che con ciò s'invade, nei più importanti e vitali problemi, il campo della fisica, dell'astronomia, dell'ingegneria, in tutte le sue specializzazioni, dalle costruzioni edili, di ponti, idrauliche, delle macchine, delle navi, degli aerei, all'elettrotecnica, alla geodesia, alla scienza delle miniere, alla balistica, alla meteorologia, ecc. Ciò spieghi perché al problema della risoluzione numerica dei sistemi di equazioni lineari sono legati, per esempio, i nomi di Gauss e di lord Kelvin. Si deve a quest'ultimo un geniale tentativo di risoluzione meccanica dei detti sistemi. Gli studî per conseguire una soluzione meccanica dei sistemi di equazioni lineari, che perda il meno possibile di praticità e di precisione, al crescere del numero delle equazioni, sono però tuttora in corso (e largamente incoraggiati dall'Istituto per le applicazioni del calcolo) e pare che essi siano ora avviati a concludersi felicemente mediante l'applicazione dell'elettricità.

Diamo ora alcuni cospicui esempî di problemi, che interessano in pieno la vita civile e che, potendo conseguire una formulazione matematica, conducono al calcolo numerico.

Nella costruzione dei ponti in ferro, delle travature e capriate metalliche, delle torri metalliche, devono essere preventivamente calcolate le sollecitazioni alle quali verranno sottoposte le varie aste di ferro di sostegno, per determinarne, in conseguenza, le dimensioni che le rendano atte a resistere. Nelle costruzioni in cemento armato (case, ponti, serbatoi, ecc.) devono essere preventivamente calcolate le sollecitazioni alle quali verranno sottoposte le varie parti per determinare in conseguenza le dimensioni di tali parti e le proporzioni tra ferro e cemento nella loro formazione.

Nella costruzione dei ponti occorre anche preventivamente calcolare il periodo delle oscillazioni proprie della particolare struttura adottata, allo scopo di garantirsi da eventuali pericolose amplificazioni di esse, provocate da impulsi periodici ricevuti dal ponte da veicoli su esso transitanti.

Nelle condutture d'acqua devono essere preventivammte calcolati il periodo e l'ampiezza delle oscillazioni e i massimi della pressione idraulica alle pareti dei tubi, per determinarne in conseguenza lo spessore ed escogitare taluni prudenziali dispositivi di smorzamento di dette oscillazioni.

Chiudendo un circuito elettrico, destinato, p. es., ad azionare i motori d'un opificio, prima che la corrente elettrica consegua la voluta intensità di regime, nei primi istanti iniziali raggiunge un valore massimo elevatissimo e discende a quello di regime, attorno al quale rimane con oscillazioni che si vanno rapidamente smorzando. Al costruttore del detto circuito è stato evidentemente necessario calcolare preventivamente quel massimo per verificare se gli isolanti e i conduttori progettati potranno ad esso resistere.

Gli alberi rotanti, trasmettitori dell'azione dei motori, non pericolo per la loro stabilità, una qualsivoglia velocità di rotazione che sia di regime; vi sono cioè delle velocità di rotazione (i cui valori costituiscono una successione discreta), le cosiddette velocità critiche, nelle vicinanze delle quali, permanendo l'albero nel suo moto rotatorio, può verificarsi la rottura di esso o dei cuscinetti con la conseguente sua fuoriuscita dai perni, cioè il disastro. Occorre dunque il più sicuro calcolo di tali velocità, se si vuole che possano essere interdette. Esso però presenta, in generale, gravi difficoltà analitiche, le quali non possono certo essere superate con i mezzi a disposizione dell'ingegnere comune, e si deve confessare che questi, in generale, ignora le velocità critiche degli alberi dei suoi motori. Si pensi intanto alle applicazioni degli alberi motori in tutti i bisogni della vita moderna, dal moto delle navi, delle automobili, degli aerei, a quello delle macchine nelle fabbriche di tutte le specie, e ci si può allora rivolgere la domanda se, con una preventiva sicura conoscenza delle velocità critiche degli alberi motori, nei loro diversi impieghi, non si potrebbero forse evitare molti dei disastri che, con dolorose perdite di vite umane e con danni ingenti, funestano il progresso civile. Nelle costruzioni aeronautiche si devono preventivamente calcolare, per ogni particolare struttura alare progettata, quelle velocità di traslazione dell'aereo, dette anch'esse velocità critiche e i cui valori formano una successione discreta, nelle quali è possibile una persistente deformazione dell'ala che porterebbe certamente alla catastrofe.

Così, nella costruzione dei sommergibili, si devono preventivamente calcolare, per ogni particolare involucro progettato, quelle pressioni esterne, dette pressioni critiche, i cui valori formano una successione discreta, sotto le quali è possibile un fiaccamento dell'involucro. Per i presagi relativi a un determinato fenomeno meteorologico occorre, sulla base delle osservazioni precedenti, la decomposizione di esso in fenomeni periodici, smorzati o amplificati, per ciascuno dei quali deve essere calcolato il periodo.

Nella ricerca dei giacimenti petroliferi ci si deve appoggiare sulla preventiva conoscenza della distribuzione delle rocce nel sottosuolo e a tale conoscenza si può pervenire, una volta determinato il campo delle forze nella regione da esplorare, dovuto alla gravità, mediante puro calcolo della soluzione d'un problema analitico che appartiene alla teoria classica delle funzioni armoniche.