Birch e Swinnerton-Dyer, congettura di

Birch e Swinnerton-Dyer, congettura di

Birch e Swinnerton-Dyer, congettura di uno dei sette → problemi del millennio. Come per altri analoghi problemi, la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer è stata dimostrata per casi particolari, ma non nella sua generalità. Il problema consiste nello stabilire quanti punti razionali ha una curva ellittica: in alcuni casi particolari è noto che la curva ha infiniti punti razionali o un numero finito di punti razionali, a seconda del comportamento di una certa funzione (funzione L) associata alla curva. L’interrogativo riguarda la possibilità di stabilire quando una certa classe di equazioni non può essere risolta. La congettura stabilisce una relazione tra le proprietà aritmetiche di una curva ellittica e le proprietà analitiche della funzione L a essa associata. Se E è una curva ellittica definita sui razionali, l’insieme E(Q) formato dalle soluzioni razionali della sua equazione con l’aggiunta del punto improprio Ω, ha la struttura di gruppo commutativo con elemento neutro Ω. Tale gruppo è finitamente generato ed è esprimibile come somma di un gruppo finito e di un gruppo della forma Z_rE dove rE è detto rango della curva ellittica E (→ Mordell, teorema di). La congettura afferma che il rango rE può essere descritto in termini delle proprietà analitiche di L(E, s), essendo L(E, s) la funzione L associata alla curva E. Chiamando ordine di annullamento di L(E, s) in s = 1, l’intero non negativo k tale che la funzione può essere riscritta come (s – 1)^k ƒ(s), dove ƒ(s) è una funzione analitica che non si annulla per s = 1, la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer afferma che l’ordine di annullamento di L(E, s) nel punto s = 1 è il rango di E.