biforcazione

biforcazione

Termine utilizzato per descrivere situazioni nelle quali soluzioni S=S(λ_i) di equazioni di varia natura dipendono da uno o più parametri λ_i (i=1,2...) e sono tali che nelle vicinanze di un certo valore λ_i⁰ (valore di biforcazione o punto di biforcazione) le loro proprietà qualitative cambiano significativamente al variare di λ_i.. L’uso più diffuso del termine è nel contesto dello studio dei sistemi dinamici, dove si è sviluppata durante il secolo scorso la cosiddetta teoria delle biforcazioni. In questo caso l’oggetto di studio è sostanzialmente l’insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni dx/dt=f(λ;x,t), dove f(λ;.,.): ℝⁿ×ℝ→ℝⁿ è una famiglia di funzioni regolari, o equivalentemente l’insieme delle curve integrali di una famiglia di campi vettoriali su ℝⁿ (detto flusso di fase). Lo stesso λ è di norma un singolo parametro reale, ma anche il caso biparame;trico è stato oggetto di attenzione. Fondamentale nella teoria è la distinzione tra biforcazioni locali e globali. Nel primo caso si concentra l’attenzione su posizione e proprietà al variare di λ di soluzioni di equilibrio o periodiche (punti di equilibrio e cicli limite), nonché su particolari insiemi di quelle a loro vicine, detti bacini di attrazione o repulsione. Esempi di biforcazioni locali sono la collisione e ‘annichilazione’ di punti di equilibrio (biforcazione a sella), la trasformazione di un punto fisso in un ciclo limite (biforcazione di Hopf), il raddoppio del periodo di un ciclo limite. Il ripetersi di quest’ultima biforcazione in una vera e propria cascata è un’importante scenario di passaggio di un sistema dinamico alla turbolenza. Sia ora δⁿ=λⁿ−λ⁽ⁿ⁻¹⁾ la distanza tra i valori del parametro per i quali si producono il raddoppio n-simo e (n+1)-simo; nel 1975 Mitchell Feigenbaum ha mostrato che per una classe amplissima di sistemi lim_n δⁿ/δ⁽ⁿ⁻¹⁾ assume un valore universale. Si parla di biforcazioni globali quando al variare del parametro si producono cambiamenti qualitativi su larga scala. Nel caso di biforcazioni omocline ed eterocline, per es., un ciclo limite collide con rispettivamente uno o più punti di sella, ma anche la comparsa di un attrattore strano rientra in questa categoria. Infine, di grande importanza nella teoria è lo studio delle condizioni sotto le quali una biforcazione conserva il suo carattere per una piccola perturbazione delle funzioni f(λ;.,.) stesse e non del parametro. È questo il problema della stabilità strutturale della biforcazione stessa.

→ Equazioni differenziali: problemi non lineari