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spazio, base di uno

Enciclopedia della Matematica (2013)
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spazio, base di uno


spazio, base di uno insieme di elementi di uno spazio attraverso i quali è possibile esprimere tutti gli elementi dello spazio stesso.

☐ In uno → spazio vettoriale, una n-pla di vettori (v1, ..., vn) costituisce una sua base se essi:

• risultano linearmente indipendenti;

• generano lo spazio vettoriale, cioè ogni vettore dello spazio è esprimibile come loro combinazione lineare.

Per esempio nello spazio vettoriale R3, una base è costituita dalla terna di vettori e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) (detta base canonica). Più in generale, n vettori v1 = (a11, ..., a1n), ..., vn = (an1, ..., ann) di uno spazio vettoriale Rn, di dimensione n, formano una base di Rn se e solo se risulta

formula

☐ In uno → spazio topologico X con topologia T una collezione B di aperti di T è detta una base della topologia o base dello spazio topologico se ogni insieme aperto di T è unione (finita o infinita) di elementi di B. Si dice che la base genera la topologia T, i cui aperti si ottengono mediante unione di elementi della base stessa. Due topologie con la stessa base sono identiche. Una base caratterizza tutte le proprietà topologiche dello spazio. Una base B di uno spazio topologico X verifica le seguenti tre proprietà:

• ∅ ∈ B;

• gli elementi della base ricoprono X;

• l’intersezione di due qualsiasi elementi della base si può ottenere come unione di elementi della base.

☐ In uno → spazio metrico dotato della struttura di spazio topologico una base è data, per esempio, da tutte le sfere aperte aventi centro nei vari punti e raggio assegnato r. Come base minima per definire una topologia in un insieme X si può scegliere quella costituita da ∅ e X (topologia banale).

Tag
  • LINEARMENTE INDIPENDENTI
  • COMBINAZIONE LINEARE
  • SPAZIO VETTORIALE
  • SPAZIO TOPOLOGICO
  • SPAZIO METRICO
Vocabolario
tèmpo
tempo tèmpo s. m. [lat. tĕmpus -pŏris, voce d’incerta origine, che aveva solo il sign. cronologico, mentre quello atmosferico (cfr. al n. 8) era significato da tempestas -atis]. – 1. L’intuizione e la rappresentazione della modalità secondo...
ìndice
indice ìndice s. m. [dal lat. index -dĭcis, propr. «indicatore», der. del tema di indicare «indicare»]. – 1. In senso generico ed etimologico (da cui si sviluppano tutti i sign. particolari), qualsiasi cosa che serve a indicare. In origine...
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