Dedekind, assioma di

Dedekind, assioma di

Dedekind, assioma di o postulato di Dedekind, afferma che se i punti di una retta sono divisi in due insiemi A, B, tali che ogni punto a ∈ A precede ogni punto b ∈ B, esiste un punto p che segue ogni a e precede ogni b, e si comporta dunque da elemento separatore dei due insiemi A e B, dovendo appartenere o all’uno o all’altro di essi. È la versione geometrica della definizione di numero reale mediante le sezioni di → Dedekind, con la differenza che in geometria si tratta di un assioma, che precisa la natura della retta, mentre in analisi costituisce un teorema che dipende dalla costruzione dei numeri reali: comunque presi due sottoinsiemi A e B di R tali che, per ogni elemento a di A e per ogni elemento b di B, valga a ≤ b, allora esiste un elemento separatore, vale a dire un numero reale x tale che, per ogni a appartenente ad A e per ogni b appartenente a B, sia soddisfatta la relazione a ≤ x ≤ b. Questo assioma venne formulato da Dedekind nel 1872 ed è anche detto assioma di continuità o assioma di completezza. Più in generale, l’assioma di Dedekind può essere applicato a un qualsiasi insieme X dotato di un ordinamento totale denso: un insieme X che soddisfa l’assioma di Dedekind è detto completo rispetto all’ordinamento ≤ (→ completezza) e tale ordinamento è detto ordinamento continuo su X. L’assioma di Dedekind è per esempio soddisfatto da una retta dotata di uno dei suoi due ordinamenti naturali, dall’insieme R dei numeri reali con il suo ordinamento naturale, ma non da Q, insieme dei numeri razionali.