aperto di olomorfia
aperto di olomorfia
Siano D e D′ due domini (insiemi aperti e connessi) dello spazio complesso di dimensione n, con D contenuto in D′, e sia S una famiglia di funzioni olomorfe su D. Se per ogni f in S esiste una funzione olomorfa su D′ la cui restrizione a D sia proprio f, allora D′ si dice un completamento analitico di D relativo a S. Per il principio di prolungamento analitico, f′, se esiste, è unica. Sia A un aperto dello spazio complesso di dimensione n. Per ogni dominio D contenuto in A, l’insieme delle funzioni olomorfe su A determina per restrizione una famiglia di funzioni olomorfe su D. Si prenda questa famiglia come famiglia S nella definizione precedente. Se, per ogni dominio D contenuto in A, ogni completamento analitico relativo a S è contenuto in A, quest’ultimo si chiama un aperto di olomorfia. Ogni aperto della retta complessa è un aperto di olomorfia, mentre la situazione è completamente diversa per gli aperti nello spazio complesso in dimensione superiore. In generale, un dominio convesso è un aperto di olomorfia. Se W è un dominio limitato omogeneo, cioè sul quale il gruppo Aut(W) degli automorfismi olomorfi di W sia transitivo, W è un aperto di olomorfia.