analisi numerica

analisi numerica

analisi numerica settore disciplinare che studia le tecniche e le procedure di calcolo (dette complessivamente → calcolo numerico) per la soluzione approssimata (detta anche soluzione numerica) di problemi ambientati in un insieme numerico continuo. I problemi possono essere di vario genere: dalla determinazione con la approssimazione voluta delle cifre decimali di un numero irrazionale (per esempio π) alla interpolazione di un polinomio, alla risoluzione di equazioni, di sistemi di equazioni e di equazioni differenziali, al calcolo della somma di una serie, al calcolo di un integrale definito di cui non si conosca la funzione primitiva. I metodi dell’analisi numerica, detti anche metodi numerici, consistono principalmente nella ricerca di algoritmi efficienti che, con iterazioni successive, forniscano una successione di valori che converga al valore cercato e che quindi, in un numero finito di passi, permetta di trovare una soluzione approssimata di tale valore entro un certo margine d’errore. Si ricorre a tali metodi quando non si dispone di procedimenti analitici per la risoluzione del problema (per esempio per risolvere una equazione differenziale) oppure quando il metodo algebrico a disposizione (per esempio il metodo di Cramer per la risoluzione di sistemi algebrici lineari) non è praticamente applicabile se non in casi elementari.

Metodi numerici per risolvere particolari problemi furono sviluppati fin dall’antichità prima ancora che si sviluppassero il calcolo simbolico e algebrico; esempi in tal senso sono il metodo di → falsa posizione per risolvere equazioni di primo grado, di cui esistono testimonianze d’uso già presso gli egizi, o il metodo di → Archimede per il calcolo di pi greco. La metodologia operativa dell’analisi numerica può essere così schematizzata: eventuale sostituzione del problema dato con un altro approssimato del quale si sappia determinare numericamente la soluzione (per esempio per il calcolo di π si può ricorrere al calcolo dell’area di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza e la cui area, quindi, approssimi quella del cerchio; oppure per il calcolo dell’integrale di una funzione si sostituisce quest’ultima con un polinomio che, in un determinato intervallo, la approssimi sufficientemente bene); valutazione dell’errore dovuto a tale sostituzione; valutazione dell’influenza sul risultato degli errori dovuti all’esecuzione dei numerosi calcoli (che necessariamente operano con un numero finito di cifre decimali e quindi approssimano fin dall’inizio eventuali risultati che siano numeri irrazionali); costruzione di una procedura di calcolo che sia eseguibile in un tempo finito (→ algoritmo). L’importanza dell’analisi numerica, e di conseguenza il suo impetuoso sviluppo, datano però soprattutto dalla seconda metà del Novecento, da quando cioè la velocità di calcolo e la precisione dei computer si sono così accresciute che spesso, anche quando non strettamente necessario, viene preferito un metodo numerico piuttosto che uno basato su manipolazioni simboliche o considerazioni d’ordine teorico esatte.