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analisi non standard

Enciclopedia della Matematica (2013)
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analisi non standard


analisi non standard moderno capitolo dell’analisi matematica fondato negli anni Sessanta del Novecento dal matematico statunitense A. Robinson. L’analisi non standard ha alla base un modello ampliato di R, designato con *R e talvolta indicato come insieme degli iperreali, che oltre agli usuali numeri reali contiene numeri infiniti e infinitesimi attuali. In *R esiste un infinito, denotato con ω, la cui definizione richiede l’uso dell’assioma della → scelta; a partire da esso si possono costruire gli altri infiniti (o meglio, iperfiniti) mediante polinomi in ω. A differenza dei numeri transfiniti, non esiste tuttavia un iperfinito minimo. Il reciproco di un infinito è un infinitesimo, un numero che risulta minore di qualsiasi numero positivo e tuttavia maggiore di 0. Per indicare che ε è infinitesimo si scrive ε ≈ 0. Dire che x è infinitamente vicino a y (proprietà denotata con x ≈ y) equivale a dire che x − y ≈ 0. La relazione ≈ che così si stabilisce è una relazione di equivalenza; in ogni classe di equivalenza [x] c’è dunque un numero reale °x = st(x) detto parte standard o ombra di x. Dato x standard, l’insieme dei numeri che sono infinitamente vicini a esso, {y : y ≈ x}, è detto alone di x. Una funzione si dice standard se il suo grafico è standard, se è cioè formato da punti le cui coordinate sono numeri standard; per esempio y = x + 4 è una funzione standard, mentre y = x + ε non lo è. Attraverso tali nozioni è possibile riformulare tutta l’analisi infinitesimale senza far uso del concetto di limite. Per esempio, la continuità di una funzione si definisce dicendo che ƒ(standard) è continua in x (standard) se y ≈ x ⇒ ƒ(y) ≈ ƒ(x); la derivata ƒ′(x) è un numero tale che

formula

Pur essendo inquadrabile come moderno capitolo dell’analisi matematica, l’analisi non standard ne costituisce, quindi, una sorta di rifondazione giacché recupera il concetto leibniziano di infinitesimo di cui Robinson dà una definizione logicamente rigorosa.

Vedi anche
transfinito In matematica, che va al di là del finito. Numeri t. (o infiniti), numeri che estendono al caso di insiemi con infiniti elementi i concetti di numero cardinale e ordinale dell’aritmetica ordinaria (nella quale questi concetti si riferiscono a insiemi con un numero finito di elementi). La teoria dei numeri ... infinitesimo In matematica, si dice di quantità variabile che, in opportune condizioni, ha per limite lo zero. La definizione del concetto di i. è dovuta ad A.-L. Cauchy (1821). Con riferimento alle funzioni reali di una variabile, si dice che u=f(x) è un i. per x→c (compreso il caso x→∞) se x→climu=0. Secondo tale ... monade In filosofia, termine usato per la prima volta dai pitagorici per indicare i primi elementi, matematici, dell’universo. Platone chiamò m. anche le idee, per designare il loro carattere di unità indipendenti. Nel Rinascimento, il termine tornò in uso con Nicola Cusano e, soprattutto, con G. Bruno che ... lògica matemàtica Branca della logica, che utilizza un linguaggio simbolico e adotta un sistema di calcolo di tipo algebrico per esaminare le espressioni di un discorso deduttivo. Queste ultime possono essere considerate formalmente come oggetti grafici combinabili tra loro (sintassi) o in relazione al loro significato ...
Tag
  • RELAZIONE DI EQUIVALENZA
  • ANALISI INFINITESIMALE
  • ASSIOMA DELLA → SCELTA
  • NUMERI TRANSFINITI
  • NUMERI REALI
Vocabolario
standard aperto
standard aperto loc. s.le m. Standard fornito di documentazione pubblica e che può essere utilizzato liberamente; con particolare riferimento ai sistemi aperti dell’informatica. ◆ Succedono dunque delle cose apparentemente paradossali:...
stàndard
standard stàndard s. m. [dall’ingl. standard 〈stä′ndëd〉, che è dal fr. ant. estendart «stendardo»]. – 1. Livello, grado, tenore normale: lo s. di vita di un paese, di una famiglia; s. culturale, professionale di una categoria; nello sport,...
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