ALGEBRA
ALGEBRA (II, p. 421; App. II, 1, p. 125; III, 1, p. 61)
Premessa. - Gli sviluppi dell'a. nel quindicennio 1960-75 sono stati assai notevoli, sia dal punto di vista quantitativo sia da quello qualitativo. Prima di esaminare alcuni progressi in direzioni particolari, vogliamo trattare tre questioni preliminari: (1) ingresso nella cultura matematica di base dell'a. "moderna", o per meglio dire astratta, codificata negli anni Trenta; (2) nuovo posto occupato dall'a. astratta nel complesso della ricerca matematica; (3) mutamenti nella definizione stessa dell'algebra.
Ingresso dell'algebra astratta nella cultura matematica di base. - In Italia, fino all'anno accademico 1961-62, nei corsi di laurea in matematica l'a. non aveva una collocazione istituzionale autonoma. Elementi di a., e per lo più di a. classica (equazioni algebriche, calcolo matriciale) venivano insegnati nei corsi istituzionali di analisi algebrica e infinitesimale e/o di geometria analitica. A partire dal 1961-62 invece, dopo l'approvazione di una riforma elaborata dall'Unione matematica italiana, al posto di un tradizionale insegnamento di chimica per matematici, che è diventato facoltativo, è stato introdotto come corso fondamentale del 1° anno di matematica un insegnamento di algebra. La denominazione "algebra" è stata interpretata da tutti i docenti come sinonimo di "elementi di a. astratta" e più precisamente come esposizione dei principali concetti, metodi e risultati relativi matematica (gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali).
Occorre aggiungere che in alcuni paesi, per es. in Francia, una riforma (riforma Lichnerowicz) ha introdotto in modo sistematico i primi elementi di a. astratta, limitatamente alle strutture sopra elencate, nella scuola secondaria superiore. Inoltre, in tutti i paesi di avanzata cultura matematica, e perciò anche in Italia, sono in corso sperimentazioni per introdurre in modo operativo (gioco, calcolo legato a problemi concreti) alcune strutture di gruppo e di anello anche nella scuola tra gli 11 e i 14 anni, e perfino nelle elementari.
Si possono distinguere due correnti principali. Da un lato, quella che ha per leader il belga G. Papy, e che tende a introdurre molto presto in forma astratta strutture fondamentali (anche per la geometria), come quella di spazio vettoriale reale. Dall'altro, seguendo la tradizione di F. Enriques, P. Libois ed E. Castelnuovo, nella Scuola Decroly di Bruxelles il primo, nella Scuola media "Tasso" a Roma la seconda, cercano invece di far arrivare bambini e preadolescenti a concetti astratti di a. attraverso operazioni sul concreto, con l'ausilio dell'intuizione geometrica e della sperimentazione fisica (laboratorio di matematica).
In verità, ed è gran merito dello psicologo ginevrino J. Piaget e della sua scuola l'averlo dimostrato, l'evoluzione naturale delle strutture dell'intelligenza corrisponde assai bene alla nuova strutturazione data all'edificio matematico dal gruppo Bourbaki: particolarmente importante il parallelismo tra il concetto astratto di gruppo, e l'acquisizione, attraverso l'azione, dell'idea di operazione associativa e invertibile nella mente infantile.
Insomma, concludendo, possiamo dire che tra gli anni Trenta e gli anni Settanta si è compiuto per l'a. astratta - in tempi assai più rapidi! - il processo che ha portato, nel corso di tre secoli, il metodo cartesiano delle coordinate dalla cultura aristocratica dei dotti all'uso comune, anzi universale (diagrammi, grafici, piante). Abbiamo preso le mosse dagli anni Trenta, in quanto nel giro di quel decennio venne sistemata in forma organica l'a. astratta, nei suoi metodi generali (definizioni assiomatiche, identificazione a meno di isomorfismi), e nei suoi capitoli fondamentali (gruppi, anelli, spazi vettoriali, A-moduli). Il famoso libro di B. L. van der Waerden, Moderne Algebra, e poi soltanto Algebra, è del 1930-31; mentre i primi fascicoli degli Eléments de mathématiques del gruppo Bourbaki appaiono nel 1939.
Nuovo posto dell'algebra nel complesso della ricerca matematica. - Il massimo riconoscimento per la ricerca matematica sono le "Medaglie Fields" (dette il "premio Nobel della matematica"). Tali medaglie, proposte da J. C. Fields nel congresso di Toronto del 1924, cominciarono a essere assegnate nel 1936, al congresso di Oslo (esse vengono attribuite in occasione dei congressi dell'IMU - International Mathematical Union - che hanno periodicità quadriennale, in numero di quattro per ogni congresso). Ebbene, mentre nei congressi immediatamente precedenti la maggioranza delle medaglie era stata assegnata per ricerche nel dominio dell'analisi matematica, nel congresso di Nizza del 1970 tre medaglie su quattro vennero assegnate per risultati conseguiti in algebra. Questo è un indice significativo del nuovo, grande rilievo acquistato dall'a. all'inizio degli anni Settanta.
Un altro indice è la pubblicazione, a partire dall'aprile 1964, di una rivista internazionale destinata solo all'a., il Journal of algebra (nel comitato di redazione: G. Higman, editore; R. H. Bruck; D. A. Buchsbaum; P. M. Cohn; J. Dieudonné; W. Feit; A. Fröhlich; A. W. Goldie; M. Hall; I. N. Herstein; B. Huppert; N. Jacobson; E. Kleinfeld; S. MacLane; G. B. Preston; J. E. Roseblade; H. J. Ryser; J. Tits; e anche un italiano, G. Zappa).
Vi è stato senza dubbio un aumento in cifre assolute, e anche in percentuale, delle ricerche di a., e una proliferazione delle scuole di ricerca algebrica in tutti i continenti: non sarebbe difficile dare delle misure quantitative attraverso le statistiche dei lavori recensiti dalle riviste bibliografiche internazionali. Ma i dati quantitativi non sono sufficienti da soli a mettere nella debita luce la posizione centrale acquistata dall'a. astratta, dai suoi concetti e dai suoi metodi nel complesso della matematica.
Il fatto qualitativo nuovo è la ripercussione che ha avuto su tutti i campi della ricerca matematica la strutturazione astratta data all'a. negli anni Trenta. Si sono stabiliti rapporti sempre più stretti tra a. e topologia (i due "pilastri" della matematica nella sistemazione bourbakista); di qui, il tentativo di ricondurre a topologia algebrica e/o ad algebra topologica numerosi e importanti rami dell'analisi e della geometria, prima considerati autonomi.
Sempre più difficile appare una separazione della matematica in capitoli, anche nel senso della classificazione bourbakista secondo tipi di struttura. La cosa è particolarmente evidente nel caso della geometria algebrica, che dagli sviluppi dell'a. astratta (v. oltre per quel che riguarda l'a. commutativa) e della topologia ha ricevuto un enorme impulso. Non è esagerato affermare che le ricerche, negli anni Sessanta e all'inizio degli anni Settanta, sono state dominate da un nuovo tipo di matematico, non più classificabile come algebrista, topologo, analista, geometra, ecc.; da un matematico che domina, usa, e tende a unificare le diverse tecniche. Emblematica, in questo senso, la figura del tedesco, naturalizzato francese, A. Grothendieck, al quale (con l'apporto del francese H. Cartan, degli statunitensi S. Eilenberg e S. MacLane), si può far risalire la nuova disciplina che ha preso il nome di a. omologica (v. in questa App.). I francesi J. Leray, J. P. Serre (e ancora una volta A. Grothendieck), che hanno fondato la teoria dei fasci, e costruito la coomologia a coefficienti in un fascio, non possono non essere citati qui, anche se la loro opera verrà sunteggiata, insieme con quella degli statunitensi S. Eilenberg e N. Steenrod, e di altri, nelle voci dedicate alla topologia algebrica e alla geometria algebrica.
Negli anni dei quali discorriamo, e anche nei precedenti anni Cinquanta, esponenti maturi della scuola classica (italiana) di geometria algebrica, quali O. Zariski e B. Segre, hanno sentito l'esigenza di algebrizzare le loro ricerche, entrando così a pieno diritto anche nella storia della evoluzione dell'algebra. Alcune grandi figure di pionieri e capiscuola dell'a. astratta scompaiono nel quindicennio 1960-75: muoiono in questo periodo lo statunitense A. Albert, i tedeschi E. Artin e W. Krull, il sovietico A. G. Kuroš. Come si è detto, emerge una nuova generazione di matematici "completi": tra di essi è giusto ricordare E. Bombieri, il primo matematico italiano al quale sia stata assegnata (nel 1974, in giovane età) una medaglia Fields.
Sotto la voce logica matematica (v. in questa App.) sono esposti i principali progressi dell'a. collegati alla matematizzazione della logica. Il rapporto logica-a. è divenuto quanto mai dialettico. Da un lato, tecniche algebriche (tipico il caso degli ultraprodotti; v. oltre) hanno permesso di sviluppare, e talvolta risolvere, questioni tipicamente logiche (teoremi di completezza; questioni relative all'esistenza di modelli, ecc.); la teoria matematica dei "topos", di recente fondazione (A. Grothendieck, F. W. Lawvere, M. Tierney, J. Benabou), riesce a tradurre in modo sistematico risultati logici in risultati algebrici (di geometria algebrica). Dall'altro lato, la matematizzazione delle operazioni logiche, iniziata più di un secolo fa da G. Boole, ha dato l'avvio alla creazione e allo studio di nuove strutture algebriche (a. booleane, reticoli; a. cilindriche, poliadiche, ecc.).
Mutamento della definizione di "algebra". - La parola "algebra" deriva, com'è noto, dal termine arabo al-giabr, che potrebbe forse essere reso efficacemente con "aggiustamento" (era usato anche in ortopedia); tale termine indicava, nell'opera di al-Khuwarizmi, lo spostamento di una quantità, con cambiamnento di segno, da un lato all'altro del simbolo di uguaglianza. La parola nasce quindi nell'ambito della tecnica per la risoluzione di equazioni, e resta per secoli sinonimo di teoria delle equazioni algebriche. Non a caso viene ancora chiamato (anche se la locuzione ha ormai soltanto una giustificazione storica), "teorema fondamentale dell'a." il teorema, intuito dal d'Alembert e dimostrato da Gauss alla fine del 1700, secondo il quale ogni equazione algebrica a coefficienti reali o complessi possiede soluzioni nel campo complesso.
La scoperta di nuovi calcoli durante l'Ottocento, la caratterizzazione assiomatica dei principali tra di essi (scuola di E. Noether, lezioni di E. Artin, libro di B. L. van der Waerden) toglie ogni carattere privilegiato al campo complesso, ma mantiene tuttavia in una posizione speciale le operazioni che si presentano come una generalizzazione delle quattro operazioni (addizione e moltiplicazione con le loro inverse, sottrazione e divisione). Così, ancora nel 1939 Saunders MacLane, che ritroveremo tra poco tra i pionieri e i diffusori di una nuovissima concezione dell'a., poteva azzardare la seguente definizione: "l'a. ha per obiettivo lo studio della struttura esplicita di sistemi definiti assiomaticamente, chiusi rispetto a una o più operazioni razionali" (Some recents advances in algebra, American mathematical monthly, 1939).
Il concetto di struttura algebrica come insieme nel quale sono definite operazioni di natura qualunque verificanti determinati assiomi (Bourbaki) sembra essere, negli anni Quaranta e Cinquanta, una definizione onnicomprensiva e definitiva (v. oltre, a. universale). Ma così non è. La fondazione bourbakista poggia, in ultima analisi, sul concetto d'insieme come aggregato degli elementi ad esso appartenenti, e sul concetto di funzione come rappresentazione di un insieme in un altro, elemento per elemento. Verso la metà degli anni Sessanta, il giovane matematico statunitense F. W. Lawvere osserva che "le proprietà di rilievo degli oggetti matematici sono quelle che possono venire formulate in termini della loro struttura astratta, piuttosto che in termini degli elementi che venivano pensati come costituenti gli oggetti".
Sorge così in modo naturale il problema, se si possa dare una fondazione per la matematica che muova da questo convincimento sulla natura della matematica, e in particolare dalla convinzione che in essa classi e appartenenza a classi possono non essere concetti primari. Una fondazione del genere sembrerebbe molto più naturale e adatta all'uso di quella classica quando si sviluppano soggetti quali la topologia algebrica, l'analisi funzionale, la teoria dei modelli di sistemi algebrici generali, ecc. Chiaramente, una fondazione di tale tipo dovrebbe ricollegarsi alla teoria delle categorie e dei funtori di Eilenberg-MacLane (The category of categories as a foundation for mathematics, Proceedings conference categorical algebra, 1966).
Nella teoria delle categorie (v. categorie, teoria delle, in questa App.), i concetti centrali sono quelli di "oggetto" e di "morfismo", e non più quelli di "insieme" e di "funzione", che caratterizzavano la fondazione bourbakista.
Diciamo - in prima approssimazione - che oggetti di una data categoria (insieme; gruppi; anelli; spazi topologici, ecc.) e morfismi tra oggetti (applicazioni di insiemi; omomorfismi di strutture algebriche; funzioni continue tra spazi topologici; ecc.) vengono considerati globalmente. Non interessa il modo di operare dei morfismi di una data categoria sui singoli elementi di un insieme (di elementi e insiemi non si parla in questa teoria); interessa soltanto la loro componibilità, che viene assicurata nel caso in cui il codominio del primo morfismo è il dominio del secondo. Poiché, in caso di componibilità, viene richiesta l'associatività, i morfismi di una categoria formano un semigruppo parziale.
Per questo aspetto, la teoria delle categorie è una parte dell'a. (a. categorica); nel tempo stesso, però, è una possibile fondazione di tutta la matematica.
Si tratta di un nuovo punto di vista, del quale è ancora difficile valutare fino in fondo la portata rivoluzionaria. Anche nell'ambito della fondazione insiemistica dell'a. vi sono stati novità e progressi; a essi dedicheremo il primo paragrafo della seconda parte (a. universale).
Progressi compiuti in alcuni campi. - Suddividiamo un'esposizione panoramica, necessariamente assai ridotta e lacunosa, nei seguenti paragrafi: a. universale, classificazione di alcune strutture algebriche, a. commutativa, a. degli automi, altre direttrici di sviluppo della ricerca algebrica.
Algebra universale. - Lo studio comparativo delle principali strutture algebriche era stato proposto da A. N. Whitehead già nel 1898, con il nome di a. universale (A treatise on universal algebra). "L'a. universale è lo studio delle operazioni finitarie su di un insieme, e l'obiettivo della ricerca è quello di trovare e trattare le eventuali proprietà che a. tra di loro così diverse come anelli, campi, algebre di Boole, reticoli e gruppi possono avere in comune" (G. Grätzer, prefazione al volume citato in bibl.).
Benché la rassomiglianza di importanti costruzioni, concetti e teoremi di teorie diverse (per es., la rassomiglianza dei teoremi di omomorfismo per i gruppi e per gli anelli) risulti molto evidente anche al principiante, tuttavia l'a. universale, come campo di ricerca autonomo e fecondo, è di sviluppo recente: i primi teoremi importanti sono stati conseguiti nella seconda metà degli anni Trenta (in primo luogo, da G. Birkhoff), mentre per avere i primi trattati organici occorre attendere gli anni Sessanta (v. bibl.).
Un'a. universale o a. senz'altro, A, è una coppia (A, F), dove A è un insieme non vuoto, mentre F è una famiglia (eventualmente anche infinita) di operazioni finitarie: F = {fi}∈I. A ogni operazione fi è associato un numero intero, detto la sua "arità". Se l'arità è n, l'operazione si chiamerà n-aria, e farà corrispondere a una n-pla ordinata di elementi di A un ben determinato elemento di A. Poiché il concetto di operazione n-aria su A rientra in quello, più generale, di relazione (n + 1)-aria tra elementi di A, un'a. (universale) è un caso particolare di "sistema relazionale" (insieme A, con una famiglia di relazioni finitarie tra elementi di A, a ognuna delle quali è assegnata un'arità). Per quel che riguarda i sistemi relazionali, rinviamo al concetto, ancora più generale, di struttura (v. in questa App.) matematica. I concetti di sottoalgebra, omomorfismo, isomorfismo, endomorfismo e simili si trasportano in modo naturale dalle singole classi di strutture algebriche (relativamente) concrete a un'a. universale A.
Un concetto centrale nello studio di a. universali è quello di "congruenza". Una congruenza C su A = (A, F) è un'equivalenza sull'insieme A tale che, se f è un'operazione presa a piacere in F, di arità n, e se a1, ..., an; b1 ,..., bn sono due n-ple di elementi di A tale che, per ogni i, ai e bi sono in una medesima classe di equivalenza, allora sono equivalenti anche i "composti" f(a1, ..., an) e f(b1, ..., bn). Pertanto, a una congruenza è associata una partizione in classi di equivalenza, A/C, di A, nella quale ogni operazione f di F definita su A dà luogo a un'operazione dello stesso nome e della stessa arità, in quanto, variando gli elementi x1, ..., xn nelle classi x1/C, ..., xn/C, il composto f(x1, ..., xn) varia entro una ben determinata classe, f(x1, ..., xn)/C, della partizione, e si può quindi porre: f(x1/C, ..., xn/C) = f(x1, ..., xn)/C.
Si ottiene così un'"a.-quoziente", A/C = (A/C, F); si estende dopo di ciò in modo naturale il teorema di omomorfismo valido per i gruppi e per gli anelli, e si ottiene una serie di più elaborati teoremi generali di isomorfismo. Gli endomorfismi di un'a. A costituiscono un gruppoide associativo (semigruppo) di tipo molto generale. Infatti, per un teorema dimostrato da M. Armbrust e J. Schmidt nel 1964 (e preannunciato da G. Grätzer nel 1962), tutti e soli i semigruppi con identità possiedono tra i loro modelli il semigruppo degli endomorfismi di un'algebra A.
La definizione di a. sopra data non include "oggetti algebrici" di "uso comune", quali i campi (in un campo, l'operazione unaria di passaggio all'inverso è definita per tutti gli elementi con l'esclusione di uno di essi, lo zero). Conviene perciò introdurre il concetto di operazione parziale n-aria, definita soltanto su un sottoinsieme dell'insieme An delle n-ple ordinate di A. Chiameremo a. parziale A = (A, F) la coppia formata da un insieme A e da una famiglia F di operazioni parziali (finitarie) su A. È da osservare che, preso a piacere un sottoinsieme B di A, la coppia (B, F) sarà di norma solo un'a. parziale rispetto alle operazioni di F ristrette a B (il risultato della composizione", con un'operazione f di A, di elementi di B, potrà benissimo cadere fuori di B).
Nel caso delle a. parziali, i concetti di sottoalgebra, omomorfismo, ecc. non si definiscono più in modo univoco (G. Grätzer e altri). Tra le congruenze di un'a. (anche parziale) si può introdurre un ordinamento secondo la "finezza", che trasforma l'insieme di dette congruenze in un reticolo. G. Grätzer e E. T. Schmidt hanno dato nel 1963 (in Ungheria, dove tali ricerche hanno avuto grande impulso) il teorema che caratterizza in modo preciso i reticoli di congruenze nell'ambito della teoria dei reticoli (lattice in inglese): ("la classe dei reticoli di congruenze relativi ad a. parziali coincide con la classe dei reticoli algebrici". (Un reticolo L si dice algebrico se: (1) è completo; (2) ogni suo elemento è unione di elementi compatti, cioè di elementi che, se sono unione di un numero infinito di altri elementi, allora lo sono anche di un numero finito tra di essi.) L'a. universale ha generalizzato classiche costruzioni di nuove strutture algebriche di una data classe a partire da strutture algebriche della stessa classe (si pensi al prodotto diretto di gruppi). Sono stati così introdotti, innanzitutto, prodotti diretti di a.; poi, "prodotti subdiretti", e altri, variamente associati con i prodotti diretti; sono stati costruiti "limiti" diretti e inversi di algebre.
Una costruzione che ha acquistato importanza di primo piano nella teoria dei modelli, è quella dei cosiddetti "ultraprodotti": per essa, e per il teorema fondamentale del polacco J. Łoš che collega questa tecnica algebrica alla costruzione di modelli di una teoria del primo ordine v. logica matematica in questa App. "Uno dei più importanti concetti relativi ad a. universali " (G. Grätzer) è quello di "a. libere". Si tratta di costruire - sempre che sia possibile - un'a. FK (a. libera), che sia l'a. più generale di una data classe K, tale cioè ogni altra a. di K sia immagine omomorfa di FK. Per esempio il semigruppo (risp. gruppo) ciclico infinito generato da un elemento, ha per sua immagine omomorfa ogni semigruppo (gruppo) generato da un elemento, ed è pertanto il semigruppo (gruppo) libero FK della classe K dei semigruppi (gruppi) generati da un solo elemento. Si parlerà, più in generale, di a. libera FK della classe K generata liberamente dalla famiglia di elementi X = (xi), se F è tale che ogni rappresentazione insiemistica di X in una a. B della classe K può essere estesa a un omomorfismo di FK in B.
Il concetto d'indipendenza (di elementi) entro un'a. libera è stato chiarito dal polacco E. Marczewski, in una serie di lavori (tra il 1959 e il 1966), ed è equivalente a quello di "base" in un'a. libera introdotto da G. Grätzer nel 1967.
Si estende al caso di un'a. libera qualunque il cosiddetto "problema della parola", già studiato in modo esauriente per i semigruppi e i gruppi. Il problema consiste in ciò: si chiede l'assegnazione di un procedimento "effettivo" (che porti a una risposta con un numero di passi che sia finito e ben determinato) per decidere se due espressioni polinomiali costruite applicando le operazioni F di una data classe a simboli di indeterminate, siano o no uguali quando si postulano determinate identità. (Se vale, per es., la proprietà associativa per un'operazione binaria, le due espressioni: x • (y • z), (x • y) • z debbono essere identificate, e così due espressioni "polinomiali" qualunque che differiscano solo per la collocazione delle parentesi.) Lo studio del problema della parola per a. universali è stato iniziato, e portato avanti, dall'inglese T. Evans.
Classificazione di alcune strutture algebriche. - "Le teorie dei gruppi, degli anelli e dei campi (alle quali era dedicato l'impianto della Moderne Algebra), ha raggiunto", dal 1930, data della pubblicazione dell'opera di B. L. van der Waerden, a oggi "nuovi livelli di profondità e di raffinatezza", così che "ciò che era noto nel 1930 sembra dilettantesco se non ingenuo": questo il giudizio dato da G. Birkhoff in un suo scritto del 1973, nel quale parla anche di altre strutture algebriche ancora poco studiate nel 1930 (gruppi di Lie, reticoli, ecc.).
Per quel che riguarda la classificazione di strutture algebriche, cioè la determinazione (a meno di isomorfismi) di strutture algebriche di un certo tipo, i progressi più sensazionali sono stati compiuti dalla teoria dei gruppi finiti. Per un'informazione completa, v. gruppo, in questa Appendice.
Qui ci limitiamo a ricordare che, nella classificazione dei gruppi finiti, la questione era stata ricondotta essenzialmente alla determinazione dei gruppi semplici (non banali, cioè non ciclici), i quali sono i gruppi privi di sottogruppi normali. L'anno 1960 segna un vero e proprio salto di qualità nella ricerca: non solo perché J. Thompson e C. Faith riescono a dimostrare (in una memoria di oltre 200 pagine) che ogni gruppo semplice finito (non banale) è di ordine pari, com'era stato congetturato parecchi decenni prima dal Burnside, ma perché, per raggiungere l'obiettivo, i due autori hanno introdotto concetti e metodi che hanno rivoluzionato la teoria dei gruppi.
Non si può parlare di progressi di analoga portata nella classificazione della a. di dimensione finita sopra un campo (App. II,1, p. 126). I teoremi di struttura, ormai classici, dell'americano J. M. Wedderburn lasciavano aperti, in sostanza, i problemi della classificazione delle a. nilpotenti e delle a. divisorie. La scuola statunitense (J. M. Wedderburn, A. Albert) aveva costruito a. divisorie, la dimensione delle quali sopra il campo-base dev'essere sempre un quadrato, esclusivamente con la tecnica del crossed product ("prodotto incrociato"; App. II, 1, p. 126). Recentemente, invece, l'israeliano S. A. Amitsur ha costruito un'a. divisoria, di dimensione 64 = 82 sopra il suo campo base, che non è un prodotto incrociato.
Per ciò che riguarda le a. di dimensione infinita, i sovietici E. S. Golod e I. R. Šafarevič hanno dimostrato l'esistenza di un'a. ("semplice" di dimensione infinita (ogni elemento della quale è nilpotente); dal teorema di Golod-Šafarevič si deduce una risposta negativa a uno dei problemi posti da D. Hilbert nel congresso di Parigi nel 1900. Sulla struttura degli anelli (non commutativi) verificanti la condizione della catena ascendente, sono da segnalare soprattutto i risultati dell'inglese A. W. Goldie. I progressi decisivi nella classificazione di a. non associative classiche (di Lie, di Jordan, corpi alternativi) sono stati compiuti prima del 1960, e pertanto li omettiamo.
Negli anni Sessanta, in relazione a geometrie non-arguesiane (piani di traslazione), sono state costruite numerose nuove classi di quasicorpi, cioè di anelli nei quali valgono gli assiomi dei quozienti, ma non necessariamente la legge associativa e una delle due leggi distributive (i principali risultati sono stati conseguiti dallo statunitense Th. G. Ostrom, dagl'italiani L. A. Rosati e G. F. Panella).
Infine, importanti progressi sono stati compiuti nella classificazione dei semigruppi (gruppoidi associativi), ad opera della scuola parigina di P. Dubreil, di quella sovietica di E. S. Ljapin, di quella statunitense di A. H. Clifford e G. B. Preston.
Algebra commutativa. - Con il termine a. commutativa, soprattutto dopo la pubblicazione nel 1958 della ormai classica opera di O. Zariski e P. Samuel (v. bibl.), s'intende oggi essenzialmente la teoria degli anelli commutativi, con particolare riguardo agli anelli commutativi noetheriani (ogni catena ascendente di ideali si interrompe dopo un numero finito di passi), i quali ultimi costituiscono una generalizzazione degli anelli di polinomi e occupano una posizione centrale nella geometria algebrica. Seguendo l'esposizione di I. Kaplansky (Commutative rings, in Conference on commutative algebra, 1973), dovremo premettere ai risultati (di rilievo massimo) conseguiti nel periodo che c'interessa qualche informazione sui problemi posti nel periodo precedente dal tedesco W. Krull, ai quali si debbono lavori fondamentali sulla teoria degl'ideali in un anello commutativo tra il 1935 e il 1951.
Una posizione centrale è occupata dal concetto di anello (noetheriano) con un solo ideale massimale ("anello locale" nella terminologia di M. Nagata, che chiama "semi-locale" un anello noetheriano con un numero finito d'ideali massimali). Sia dato un anello A (che d'ora in poi si sottointenderà commutativo, con unità, e noetheriano), e un suo ideale primo P (se il prodotto di due elementi di A appartiene a P, almeno uno dei due elementi appartiene a P). Il procedimento di "localizzazione" consiste nel passaggio dall'anello A all'anello locale AP, che è l'"anello delle frazioni" relativo al sistema moltiplicativo S = A − P. (Un sistema S di A si dice moltiplicativo se esso è chiuso rispetto alla moltiplicazione in A; l'anello delle frazioni relativo a S si ottiene aggiungendo ad A, in modo univocamente determinato, gl'inversi degli elementi di S e quindi le frazioni con denominatore in S.) Terminologia, e problematica!, derivano dalla geometria algebrica, e precisamente dal caso A = C[x] = anello dei polinomi in x a coefficienti complessi; P = ideale primo generato da un polinomio di 1° grado, x − a. Allora AP è l'anello delle funzioni razionali (quozienti di polinomi), che non contengono x − a come fattore nel denominatore (una volta ridotte ai minimi termini), cioè delle funzioni reazionali che non hanno un "polo" (non "vanno all'infinito") nel punto, o "posto" (il termine tedesco usato da Krull era Stelle), o "luogo" a. Torniamo a un anello locale L qualunque: sia M il suo ideale massimale. Se M è generato da n elementi, allora n è la massima lunghezza di una catena d'ideali primi di L. Se tale massimo è raggiunto, allora (con C. Chevalley, 1943) chiameremo L "regolare". (In geometria algebrica, la regolarità dell'anello locale relativo a un punto di una varietà algebrica corrisponde alla non-singolarità del punto).
Nel 1938, W. Krull pose i seguenti due problemi: a) Se L è regolare, la sua localizzazione Lp (vedi sopra) rispetto a un suo ideale primo P, è ancora regolare? b) Un anello locale regolare è a fattorizzazione unica? Se già nel 1947 O. Zariski riusciva a dare risposte per anelli locali "geometrici", i problemi, nella loro generalità, restarono aperti fino alla vigilia degli anni Sessanta. La loro soluzione fu un trionfo dei nuovi metodi dell'a. omologica. Tra il 1955 e il 1957, M. Auslander, D. A. Buchsbaum e J. P. Serre dimostrarono infatti che L è regolare se e solo se la "dimensione omologica" del suo ideale massimale M è finita. Nel 1959, ancora Auslander e Buchsbaum (con un successivo contributo di R. MacRae nel 1963) risolvono in senso affermativo, sempre con i metodi dell'a. omologica, anche il secondo problema posto da Krull.
Tra i molti risultati conseguiti nell'ambito dell'a. commutativa tra il 1960 e il 1975, ci limitiamo a ricordarne ancora uno, di particolare spicco. Nel 1969 R. Swan risolve un problema posto già da E. Noether, facendo vedere che un sottocampo L del campo K(x1, ..., xn) delle funzioni razionali in n indeterminate, il quale venga fissato da un gruppo G che permuta le indeterminate, può non essere un'estensione trascendente pura di K. C. Clemens e P. Griffith dànno nel 1972 un controesempio in dimensione 3 (i teoremi di Lüroth e di Castemuovo escludono la possibilità del fenomeno per le dimensioni 1 e 2).
L'algebra degli automi. - La costruzione di macchine calcolatrici digitali di sempre maggiore efficienza e rapidità (high speed digital computers) non solo ha rappresentato una rivoluzione nella tecnica e nella cosiddetta matematica applicata, ma ha anche dato impulso (o addirittura origine) a nuove ricerche teoriche. Seguendo Garrett Birkhoff (Current trends in algebra, American mathematical monthly, 1973), elencheremo quattro direttrici di sviluppo dell'a. attuale, influenzate dai calcolatori.
a) La nuova algebra numerica. Essa è parte dell'analisi numerica ed è stimolata dal processo di "discretizzazione" inerente al funzionamento delle macchine, le quali, anzi, riducono ogni soluzione a un numero finito di cifre (digits) e ogni equazione a un'equazione algebrica. Cambia il punto di vista, perdono importanza formule risolutive teoricamente perfette ma non praticabili (per es. la "regola di Cramer"); si pongono problemi di efficienza. Così, dal punto di vista della rapidità dei calcoli, hanno acquistato importanza le matrici "diradate" (o sparse), cioè con un gran numero di zeri; i metodi iterativi rapidamente convergenti per la risoluzione approssimata di equazioni algebriche, ecc. La programmazione lineare può essere considerata un ramo, ormai autonomoi della nuova a. numerica.
b) Problemi di ottimizzazione. Sono legati ai precedenti. Si parte dall'analisi del grado di complessità di calcolo (computational complexity) delle tecniche usate per eseguire effettivamente operazioni per trovare procedimenti ottimali. Un esempio pratico: qual è il numero minimo di operazioni richieste per moltiplicare tra di loro due matrici con n righe e n colonne? Un esempio teorico: qual è la "lunghezza minima" della scrittura di un elemento in un'a. di Boole? (G. Birkhoff, l. c.).
c) Teoria algebrica degli automi. Si può dare una definizione formale (matematica) di un automa M. Esso è un sistema costituito da due insiemi A e Z di simboli d'ingresso (input) risposta d'uscita (output), più un insieme S di stati (interni). M diventa una struttura algebrica introducendo le operazioni di "cambiamento di stato" e di "registrazione di uscita" (printing out), che associano a una coppia entrata-stato, un nuovo stato, oppure un'uscita. Questi nuovi sistemi algebrici, ancora poco studiati, si collocano probabilmente nell'ambito della a. universale.
d) Algebra combinatoria. I calcolatori hanno dato nuovo slancio alla matematica combinatoria in generale. Su iniziativa di B. Segre, che ha dato grande impulso negli anni di cui parliamo alla geometria combinatoria e alla teoria dei campi finiti, si è svolto nel settembre del 1972 a Roma un convegno internazionale di Teorie combinatorie, promosso dall'Accademia nazionale dei Lincei, con il concorso dell'American mathematical society; gli atti di tale convegno, in corso di stampa mentre scriviamo, testimonieranno della grande importanza di dette teorie all'inizio degli anni Settanta.
Per quel che concerne l'a., le strutture algebriche più importanti per i calcolatori non sono quelle ormai classiche della Moderne Algebra di B. L. van der Waerden (1930), ma altre. Tra esse: i loops, o cappi (gruppoidi con divisione, ma non associativi), i monoidi (gruppoidi associativi con unità), i reticoli. G. C. Rota, uno dei massimi esponenti mondiali dell'a. combinatoria (italiano di origine, lavora negli SUA) ha fatto vedere che l'approccio reticolare ha grande importanza per tutta la matematica combinatoria. La geometria combinatoria (geometrie finite, arguesiane e non; olock-designs e altre strutture d'incidenza) ha dato luogo, e lo si è già accennato, a interessanti sviluppi algebrici (anelli ternari di M. Hall, quasicorpi, cappi, sistemi cartesiani, ecc.).
Altre direttrici di sviluppo della ricerca algebrica. - Ci limitiamo a brevi appunti su qualche altro recente indirizzo di ricerca, consapevoli di omissioni difficilmente evitabili in un'esposizione riassuntiva su di una materia così vasta (le scelte non possono non essere in una certa misura personali e arbitrarie).
a) K-teorie algebriche. J. Milnor, alla fine degli anni Sessanta, ha introdotto un "funtore" dalla categoria (v.) degli anelli a quella dei gruppi. H. Bass (1968) ne ha messo in risalto l'importanza e ne ha tratto importanti risultati algebrico-geometrici, istituendo così un vero e proprio nuovo indirizzo di ricerca.
b) Algebre-gruppo. D. S. Passmann, partendo da lavori pubblicati da S. A. Amitsur tra il 1959 e il 1961, ha aperto recentemente nuovi orizzonti alla classica teoria delle a.-gruppo. (Gli elementi di un gruppo G costituiscono la base di un'a., AG, che è uno spazio vettoriale a coefficienti su di un campo K; in essa la moltiplicazione viene derivata da quella di G). Mentre il caso di G finito era stato trattato in modo esauriente (da R. Brauer e altri) negli anni Trenta e Quaranta, il Passmann ha esteso la ricerca alle a.-gruppo infinite.
c) Teoria del radicale di un anello. S. A. Amitsur ha formalizzato il concetto di "radicale" di un anello, introducendo così diversi possibili radicali, oltre a quello ormai classico di N. Jacobson (intersezione di tutti i subanelli nilpotenti massimali); ha aperto così la via a nuovi studi e risultati sulla struttura degli anelli.
d) Anelli con identità polinomiali. Anche questa teoria ha per punto di partenza lavori di Amitsur (1965). La teoria studia anelli (commutativi) nei quali uno o più polinomi sono identicamente soddisfatti, comunque si sostituiscono le indeterminate con elementi dell'anello. (Gli anelli commutativi, nel loro insieme, verificano identicamente la equazione: x•y − y•x = 0). A questa teoria, in pieno sviluppo, ha dato contributi di primo piano l'italiano Claudio Procesi, autore anche del primo volume nel quale si raccolgono e si ordinano i risultati fin qui conseguiti (v. bibl.).
Bibl.: L'introduzione dell'a. nel corso di laurea in matematica ha portato a una produzione anche italiana di libri di testo di ''primo livello'' (numerosissimi all'estero). Tra di essi ricordiamo: G. Scorza Dragoni, Elementi di analisi matematica, v. I: Elementi di algebra, Padova 19612; L. Lombardo Radice, Istituzioni di algebra astratta, Milano 1975. Tra i libri che si propongono la diffusione di una cultura algebrica moderna tra gl'insegnanti, di autori italiani, ricordiamo: E. Castelnuovo, Didattica della matematica, Firenze 1962; id., Documenti di un'esposizione di matematica, Torino 1972; A. Frajese, Introduzione elementare alla matematica moderna, Firenze 1968; G. Catalano-L. Lombardo Radice, Minialgebra, Milano 1972. Per la bibliografia sull'a. omologica, sulla geometria algebrica, sulla logica e sulla topologia si rinvia alle rispettive voci. Per le categorie rinviamo alla voce omonima limitandoci a segnalare qui il trattato S. MacLane, G. Birkhoff, Algebra, New York 1967, il primo testo relativamente elementare di a. impostato in modo categorico. Per l'a. universale, ci limitiamo ai tre principali testi che danno un panorama completo, rinviando al libro di Grätzer per le indicazioni bibliografiche relative a singoli lavori sopra citati. In ordine di tempo: A. G. Kuroš, Lekcii po obščej algebre ("Lezioni di algebra generale"), Mosca 1962 (esistono due traduzioni in lingua inglese); P. M. Cohn, Universal algebra, New York 1965 (trad. it. di M. Fattorosi Barnaba, Milano 1971); G. Grätzer, Universal algebra, Londra 1968. Per gli anelli generali (commutativi e non) si veda: S. MacLane, Some advances in algebra, Studies in modern algebra, The Math. Ass. of America, 1962; N. Jacobson, Structure of rings, nella collana Colloquium publications dell'American mathematical society, Providence, 1968; I. N. Herstein, Topics in ringh theory, Chicago 1969; Lectures on rings and modules, in particolare A. W. Goldie, The structure of noetherian rings, Berlino 1972. Per i quasicorpi (in particolare per i corpi alternativi), v.: H. P. Dembowski, Finite geometries, Berlino 1968; D. R. Hughes-F. C. Piper, Projective planes, ivi 1970. Per i semigruppi si rinvia a A. H. Clifford-G. B. Preston, The algebraic theory of semigroups, American mathematical society, 1° vol. 1961, 2° vol. 1967; E. S. Ljapin, Polugruppy, Mosca 1970. Per l'a. commutativa si veda: O. Zariski-P. Samuel, Commutative algebra, Princeton, N. J., 2 voll., 1958-1962; N. Bourbaki, Algèbre commutative, Ch. I-VII, Parigi 1961-65; M. Nagata, Local rings, New York 1962; A. Grothendieck (con J. Dieudonné), Eléments de géométrie algébrique, Ch. IV, Institut Hautes Etudes, Publ. Math. nn. 20, 24, 28-32 (1964-5-6-1972); J. Dieudonné, Topics in local algebra, Parigi 1967; D. G. Northcott, Lessons on rings, modules, and multiplicities, Cambridge 1968; M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction to commutative algebra, Londra 1969; H. Matsumura, Commutative algebra, New York 1970; J. T. Knight, Commutative algebra, Cambridge 1971; Autori vari, Conference in Commutative algebra, Berlino 1973. In italiano si veda S. Baldassarri-Ghezzo, C. Margaglio, T. Millevoi, Introduzione ai metodi della geometria algebrica, Roma 1967. Per l'a. combinatoria si rinvia a M. Hall, Combinatorial theory, Toronto 1967; G. Birkhoff, J. D. Lipson, Heterogeneous theory, in J. Combinatorial Analysis, 1969; G. C. Rota, Combinatorial geometries, Cambridge, Mass., 1970; Donald Knuth, Algorithms, Reading, Mass., 1969 (sono progettati 7 volumi); G. Birkhoff, Th. C. Bartee, Modern applied algebra, New York 1970; G. Birkhoff, M. Hall, Computers in algebra and number theory, SIAM-AMS (Society for Industrial Applied Mathematics-American Mathematical Society) Proceedings, vol. IV, Providence 1971; D. Rose, R. Willoughby, Sparse matrices and their applications, New York, 1971. Per le K-teorie algebriche si rinvia a H. Bass, Algebraic K-theory, New York 1968; Autori vari, Algebraic K-theory and its geometric applications, Berlino 1969. Per le a. gruppo: D. S. Passmann, Infinite group-rings, New York 1971. Infine, per gli anelli con identità polinomiali: C. Procesi, Rings with polynomial identities, New York 1975.