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algebra esterna

Enciclopedia della Matematica (2013)
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algebra esterna


algebra esterna o algebra di Grassmann, in geometria algebrica o in geometria differenziale, l’algebra esterna di uno spazio vettoriale V* su un campo K è l’algebra associativa unitaria Λ(V*) generata da V* modulo le relazioni {v2 = 0, ∀v ∈V*}, vale a dire come il quoziente dell’algebra tensoriale T(V*) rispetto all’ideale I generato dall’insieme {v ⊗v; ∀v ∈V*}, dove con il simbolo ⊗ viene indicato il prodotto tensoriale. Le algebre esterne, che rientrano nell’ambito più generale delle algebre di → Clifford, costituiscono il contesto algebrico più appropriato in cui considerare la nozione di forma differenziale.

In modo più costruttivo, ma sostanzialmente equivalente, si può definire un’algebra esterna a partire da uno spazio vettoriale V* di dimensione n su un campo K (dove K è il campo R dei numeri reali o quello C dei numeri complessi, o più in generale un qualsiasi campo di caratteristica 0) e dal suo spazio duale V**. Si considera il sottospazio vettoriale ΛV*rV*(V**) ⊆ T(V**) degli r-tensori alterni su V*, cioè dei tensori che:

• costituiscono un’applicazione

formula

• sono r-lineari, sono cioè lineari in ognuna delle loro r-componenti;

• sono alterni, tali cioè che, comunque si scelgano una permutazione σ dell’insieme {1, 2, …, r} e r vettori

v1, v2, …, vr di V*, vale

formula

dove sgn(σ) è il segno di σ.

L’esempio fondamentale di n-tensore alterno è il determinante, visto come applicazione

formula

dove gli n argomenti sono considerati come le colonne di una matrice n × n; ogni altro n-tensore alterno è un multiplo del determinante. Se r > n, allora non esistono r-tensori alterni; gli 1-tensori alterni coincidono invece con le applicazioni lineari: Λ1(V**) =V**. Si pone infine per definizione Λ0(V**) =K. Sia Λ(V**) il sottospazio dell’algebra tensoriale T(V*) somma diretta dei sottospazi ΛV*rV*(V**) al variare di r tra 0 e n:

formula

Il prodotto tensoriale di tensori alterni non è alterno; tuttavia è possibile definire a partire dal prodotto tensoriale un prodotto (indicato con il simbolo ∧ e detto prodotto esterno o prodotto wedge) tra tensori alterni come segue. Se φ è un r-tensore, sia Alt(φ) l’r-tensore alterno definito come segue:

formula

dove Sr indica l’insieme delle permutazioni dell’insieme {1, 2, ..., r}, r! è il fattoriale di r e, se σ ∈ Sr, il simbolo φσ indica l’r-tensore definito come segue:

formula

Nel caso in cui φ è un tensore alterno, allora Alt(φ) = φ: si ottiene pertanto un’applicazione lineare Alt: T(V**) → Λ(V**) che preserva il grado dei tensori e che è l’identità ristretta al sottospazio dei tensori alterni. Si definisce dunque il prodotto esterno di due tensori alterni ξ e ω (rispettivamente di grado r e di grado s) come l’(r + s)-tensore alterno ξ ∧ ω{{{1}}}Alt(ξ ⊗ ω).

Il prodotto esterno di tensori alterni così definito è associativo e bilineare; inoltre esso è antisimmetrico, nel senso che vale ξ ∧ ω{{{1}}}(−1)V*rsV*ω ∧ ξ.

Dotato del prodotto esterno, lo spazio vettoriale Λ(V**) acquisisce la struttura di algebra associativa unitaria e, con tale struttura, esso è l’algebra esterna di V**.

Se {φ1, φ2, ..., φn} è una base di V**, allora una base di Λ(V*) è costituita dai vettori

formula

in particolare si ottiene che, se r ≤ n, la dimensione degli spazi vettoriali ΛV*rV*(V*) è la seguente:

formula

Una volta che Λ(V*) è dotato della struttura di algebra con il prodotto ∧, il tensore determinante acquisisce un ruolo fondamentale; ogni tensore alterno è infatti esprimibile per mezzo di esso secondo la seguente formula: se ψ1, ..., ψr sono elementi di V* = Λ1(V*) (con r ≤ n), allora

formula

Poiché il nucleo dell’applicazione Alt coincide con l’ideale I rispetto al quale è stata costruita l’algebra tensoriale quoziente T(V*)/I considerata all’inizio, le due costruzioni producono oggetti isomorfi.

Vedi anche
tensore Anatomia Muscolo volontario o involontario che ha la funzione di tendere un organo o una formazione anatomica: t. del palato, contrae il palato molle; t. del tarso, nell’orbita, comprime i punti lacrimali delle palpebre e la ghiandola lacrimale; t. del timpano, nell’orecchio, distende la membrana del ... proprietà commutativa In matematica, si dice che un’operazione binaria gode della proprietà c. se è tale che a R b=b R a, dove R è il simbolo dell’operazione e a, b gli elementi su cui si opera. Tale proprietà c. vale, per es., per l’addizione e per il prodotto ordinario: se a e b sono numeri reali (in partic., frazioni o ... determinante Biologia Termine introdotto da A. Weismann per indicare presunti aggregati di molecole contenuti nel nucleo delle cellule sessuali e che conterrebbero i fattori per la determinazione delle cellule. In immunologia, d. antigenico, sito dell’antigene contro cui è diretta la specificità di un anticorpo; ... spazio fibrato In matematica, concetto introdotto nel 1935 da H. Whitney in relazione a problemi di topologia e geometria delle varietà. Ha dato luogo a una teoria che ha avuto un enorme sviluppo, specialmente in connessione agli spazi vettoriali (A. Grothendieck, M.F. Atiyah, F. Hirzebruch) e ha condotto alla costruzione ...
Tag
  • GEOMETRIA DIFFERENZIALE
  • SOTTOSPAZIO VETTORIALE
  • APPLICAZIONE LINEARE
  • ALGEBRA DI GRASSMANN
  • ALGEBRA ASSOCIATIVA
Vocabolario
àlgebra
algebra àlgebra s. f. [dal lat. mediev. algebra, e questo dall’arabo al-giabr, propr. «restaurazione», e quindi «riduzione» (dapprima nel sign. medico-chirurgico, e poi in quello matematico), che compare la prima volta in un trattato arabo...
algèbrico
algebrico algèbrico agg. [der. di algebra] (pl. m. -ci). – Di algebra, che concerne l’algebra: calcoli a., somma a., analisi a., ecc.; in partic.: espressione a., ogni scrittura in cui compaiano numeri, lettere e indeterminate, queste ultime...
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