addizione

addizione operazione dell’aritmetica, denotata con il simbolo + («più»), il cui risultato è detto somma, o totale, mentre i singoli operandi sono detti addendi o termini.

L’addizione può essere definita formalmente in N, insieme dei numeri naturali, in modo induttivo a partire dagli assiomi di → Peano ponendo, per ogni numero naturale n, il numero n + 1 come «successivo» di n (indicandolo formalmente con s(n)) e ponendo che, per ogni naturale m, la somma di n e il successivo di m è uguale al successivo della somma di n e m. Cioè:

A partire dagli assiomi di Peano, ponendo

dove n e m sono due numeri naturali, l’addizione definisce così una legge di composizione interna nell’insieme dei numeri naturali, formalmente indicata con il simbolo +, che a ogni coppia di numeri naturali associa un altro numero naturale, loro somma: N × N → N.

L’addizione si estende a tutti gli insiemi numerici che ampliano quello dei naturali, cioè a Z, insieme dei numeri interi, a Q, insieme dei numeri razionali, a R, insieme dei numeri reali, e a C, insieme dei numeri complessi. In tutti questi insiemi, l’addizione gode delle proprietà associativa e commutativa e in N, Z, Q, R gode di una proprietà di monotonia:

Inoltre esiste in ognuno degli insiemi numerici che ampliano i naturali un elemento privilegiato, detto elemento neutro e indicato con 0, definito dalla proprietà che, per ogni numero n, n + 0 = n. Tutti questi insiemi, tranne N, sono chiusi rispetto all’operazione che associa a un qualsiasi elemento e il suo opposto indicato con −e; l’elemento −e appartiene all’insieme stesso e vale la proprietà e + (−e) = 0. Questo fatto si traduce matematicamente dicendo che l’insieme N è un monoide commutativo rispetto all’addizione, mentre gli insiemi Z, Q, R e C sono dei gruppi commutativi rispetto all’addizione.

Con il termine addizione si indicano anche operazioni, sempre denotate con il simbolo +, tra vettori o tra matrici, oppure operazioni astratte in insiemi qualsiasi, per le quali, di volta in volta, si postulano tutte o in parte le proprietà dell’addizione tra numeri. In particolare, il termine addizione può indicare l’operazione definita in un gruppo o una delle operazioni definite in un anello (→ struttura algebrica).